Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y в квадрате равен 9x x = 16 x = 25 y= 0
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала определим уравнения и области, которые нас интересуют.
Уравнение \(y^2 = 9x\) можно переписать в виде \(y = 3\sqrt{x}\) и \(y = -3\sqrt{x}\) (это верхняя и нижняя ветви параболы).
Параметры \(x = 16\) и \(x = 25\) обозначают вертикальные линии, которые ограничивают нашу площадь.
Линия \(y = 0\) представляет собой ось абсцисс.
Теперь мы можем определить границы интегрирования. Площадь фигуры будет находиться под верхней ветвью параболы и над осью \(y\) между \(x = 16\) и \(x = 25\).
Площадь \(A\) вычисляется по формуле интеграла:
\[ A = \int_{16}^{25} (3\sqrt{x} - 0) \, dx \]
Теперь вычислим этот интеграл:
- Найдем первообразную:
\[ \int 3\sqrt{x} \, dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x^{3/2} \]
- Подставим пределы интегрирования:
\[ A = \left[2x^{3/2}\right]_{16}^{25} = 2(25^{3/2}) - 2(16^{3/2}) \]
Теперь посчитаем \(25^{3/2}\) и \(16^{3/2}\):
\[ 25^{3/2} = (5^2)^{3/2} = 5^3 = 125 \] \[ 16^{3/2} = (4^2)^{3/2} = 4^3 = 64 \]
Подставим эти значения обратно в формулу:
\[ A = 2(125) - 2(64) = 250 - 128 = 122 \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет \(122\) квадратных единицы.
