Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, сначала определим уравнения и области, которые нас интересуют.
Уравнение (y^2 = 9x) можно переписать в виде (y = 3\sqrt{x}) и (y = -3\sqrt{x}) (это верхняя и нижняя ветви параболы).
Параметры (x = 16) и (x = 25) обозначают вертикальные линии, которые ограничивают нашу площадь.
Линия (y = 0) представляет собой ось абсцисс.
Теперь мы можем определить границы интегрирования. Площадь фигуры будет находиться под верхней ветвью параболы и над осью (y) между (x = 16) и (x = 25).
Площадь (A) вычисляется по формуле интеграла:
[
A = \int_{16}^{25} (3\sqrt{x} - 0) , dx
]
Теперь вычислим этот интеграл:
- Найдем первообразную:
[
\int 3\sqrt{x} , dx = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} = 2x^{3/2}
]
- Подставим пределы интегрирования:
[
A = \left[2x^{3/2}\right]_{16}^{25} = 2(25^{3/2}) - 2(16^{3/2})
]
Теперь посчитаем (25^{3/2}) и (16^{3/2}):
[
25^{3/2} = (5^2)^{3/2} = 5^3 = 125
]
[
16^{3/2} = (4^2)^{3/2} = 4^3 = 64
]
Подставим эти значения обратно в формулу:
[
A = 2(125) - 2(64) = 250 - 128 = 122
]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, составляет (122) квадратных единицы.
