Прямая, параллельная стороне A C AC треугольника A B C ABC , пересекает стороны A B AB и B C BC в точках M M и N N соответственно. Найдите B N BN , если M N = 18 MN=18 , A C = 54 AC=54 и N C = 42 NC=42 .

Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим треугольник \( ABC \), в котором прямая, параллельная стороне \( AC \), пересекает стороны \( AB \) и \( BC \) в точках \( M \) и \( N \) соответственно. По свойству подобия треугольников, которое возникает из того, что \( MN \) параллельно \( AC \), можно составить пропорции. Так как \( MN \parallel AC \), треугольники \( ABM \) и \( ABC \), а также \( BNC \) и \( ABC \) являются похожими. Из этого следуют пропорции: \[ \frac{AM}{AB} = \frac{MN}{AC} \] \[ \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \] Теперь подставим известные значения. Мы знаем, что \( MN = 18 \) и \( AC = 54 \). Подставим эти данные в нашу пропорцию: \[ \frac{BN}{BC} = \frac{18}{54} \] Сначала упростим дробь \( \frac{18}{54} \): \[ \frac{18}{54} = \frac{1}{3} \] Это означает, что длина отрезка \( BN \) составляет одну треть длины \( BC \). Теперь, чтобы найти \( BN \), нам нужно знать длину \( BC \). Для этого воспользуемся данными о \( NC \): \[ BC = BN + NC \] Пусть \( BN = x \). Тогда \( BC = x + 42 \). Согласно нашей пропорции, имеем: \[ \frac{x}{x + 42} = \frac{1}{3} \] Теперь умножим на \( 3(x + 42) \), чтобы избавиться от дроби: \[ 3x = x + 42 \] Весьма просто! Упростим это уравнение: \[ 3x - x = 42 \] \[ 2x = 42 \] \[ x = 21 \] Таким образом, мы нашли \( BN \): \[ BN = 21 \] Ответ: \( BN = 21 \).