Давайте решим данное уравнение:
[
2 \cdot 16^x - 7 \cdot 4^x - 4 = 0
]
Сначала выразим ( 16 ) и ( 4 ) через ( 2 ):
[
16 = 2^4 \quad \text{и} \quad 4 = 2^2
]
Тогда ( 16^x = (2^4)^x = 2^{4x} ) и ( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} ).
Подставим эти выражения в уравнение:
[
2 \cdot 2^{4x} - 7 \cdot 2^{2x} - 4 = 0
]
Упростим:
[
2^{1 + 4x} - 7 \cdot 2^{2x} - 4 = 0
]
Теперь обозначим ( y = 2^{2x} ). Тогда ( 2^{4x} = y^2 ), и мы можем переписать уравнение как:
[
2y^2 - 7y - 4 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81
]
Найдем корни уравнения:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 9}{4}
]
Первый корень:
[
y_1 = \frac{16}{4} = 4
]
Второй корень:
[
y_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
]
Так как ( y = 2^{2x} ) должно быть больше нуля, мы оставляем только положительный корень ( y = 4 ).
Теперь вернемся к ( y = 2^{2x} = 4 ):
[
2^{2x} = 2^2
]
Следовательно,
[
2x = 2
]
И
[
x = 1
]
Таким образом, единственным решением уравнения является:
[
\boxed{1}
]
