решить СЛАУ методом Крамера: 5x-2y=4; x+3y=5
Чтобы решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Крамера, нужно следовать нескольким шагам. Дано уравнение:
- \( 5x - 2y = 4 \)
- \( x + 3y = 5 \)
Сначала запишем систему в матричной форме:
\[ \begin{cases} 5x - 2y = 4 \\ 1x + 3y = 5 \end{cases} \]
Теперь определим матрицу коэффициентов \( A \), вектор \( B \) свободных членах и вектор решений \( X \):
\[ A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]
Теперь нам нужно найти детерминант матрицы \( A \):
\[ D = \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (5 \cdot 3) - (-2 \cdot 1) = 15 + 2 = 17 \]
Поскольку детерминант \( D \) не равен нулю, система имеет единственное решение.
Теперь найдем детерминанты \( D_x \) и \( D_y \):
Для \( D_x \), заменяем первый столбец матрицы \( A \) столбцом \( B \):
\[ D_x = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} = (4 \cdot 3) - (-2 \cdot 5) = 12 + 10 = 22 \]
Для \( D_y \), заменяем второй столбец матрицы \( A \) столбцом \( B \):
\[ D_y = \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = (5 \cdot 5) - (4 \cdot 1) = 25 - 4 = 21 \]
Теперь можем найти значения \( x \) и \( y \):
\[ x = \frac{D_x}{D} = \frac{22}{17}, \quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{21}{17} \]
Таким образом, решение системы:
\[ x = \frac{22}{17}, \quad y = \frac{21}{17} \]
Это и есть окончательный ответ! Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать.
