Найдите сумму всех двухзначных натуральных чисел,Которые при делении на 13 дают в остатке 7

Чтобы найти сумму всех двухзначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, начнем с определения этих чисел. Двухзначные натуральные числа начинаются с 10 и заканчиваются на 99. Для того чтобы число при делении на 13 давало остаток 7, оно должно быть записано в следующем виде: \[ n = 13k + 7 \] где \( k \) — целое число. Теперь найдём такие \( k \), чтобы \( n \) оставалось в пределах двухзначных чисел: 1. Найдём минимальное значение \( k \): \[ 10 \leq 13k + 7 \] \[ 13k \geq 3 \quad \Rightarrow \quad k \geq \frac{3}{13} \] Поскольку \( k \) должно быть целым, минимальное значение \( k \) равно 1. 2. Теперь найдём максимальное значение \( k \): \[ 13k + 7 \leq 99 \] \[ 13k \leq 92 \quad \Rightarrow \quad k \leq \frac{92}{13} \approx 7.08 \] Максимальное целое значение \( k \) равно 7. Теперь подставим значения \( k \) от 1 до 7 и получим соответствующие двухзначные числа: - Для \( k = 1 \): \( 13 \cdot 1 + 7 = 20 \) - Для \( k = 2 \): \( 13 \cdot 2 + 7 = 33 \) - Для \( k = 3 \): \( 13 \cdot 3 + 7 = 46 \) - Для \( k = 4 \): \( 13 \cdot 4 + 7 = 59 \) - Для \( k = 5 \): \( 13 \cdot 5 + 7 = 72 \) - Для \( k = 6 \): \( 13 \cdot 6 + 7 = 85 \) - Для \( k = 7 \): \( 13 \cdot 7 + 7 = 98 \) Теперь у нас есть все необходимые числа: 20, 33, 46, 59, 72, 85, 98. Теперь сложим их: \[ 20 + 33 + 46 + 59 + 72 + 85 + 98 \] Посчитаем шаг за шагом: - \( 20 + 33 = 53 \) - \( 53 + 46 = 99 \) - \( 99 + 59 = 158 \) - \( 158 + 72 = 230 \) - \( 230 + 85 = 315 \) - \( 315 + 98 = 413 \) Итак, сумма всех двухзначных натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 7, равна 413.