Рабочие взялись вырыть колодец у скупого богача. Они просили 500 руб. , но он не хотел дать. Тогда они сказали ему: «Уплати нам за первый метр 1 коп., за второй метр 2 коп. , за третий метр 4 коп. , за четвёртый метр 8 коп. , и т. д. Большего мы не просим». Богачу это показалось дёшево, и он согласился. Сколько денег уплатил богач, если колодец был глубиной в 18 м?

Чтобы решить эту задачу, необходимо понять, сколько денег работники получат за вырытый колодец глубиной 18 метров при установленной схеме оплаты. Оплата за каждый метр колодца увеличивается в 2 раза, начиная с 1 копейки за первый метр. Это значит: - За 1-й метр: 1 копейка (2^0) - За 2-й метр: 2 копейки (2^1) - За 3-й метр: 4 копейки (2^2) - За 4-й метр: 8 копеек (2^3) - За 5-й метр: 16 копеек (2^4) - За 6-й метр: 32 копейки (2^5) - За 7-й метр: 64 копейки (2^6) - За 8-й метр: 128 копеек (2^7) - За 9-й метр: 256 копеек (2^8) - За 10-й метр: 512 копеек (2^9) - За 11-й метр: 1024 копейки (2^10) - За 12-й метр: 2048 копеек (2^11) - За 13-й метр: 4096 копеек (2^12) - За 14-й метр: 8192 копейки (2^13) - За 15-й метр: 16384 копейки (2^14) - За 16-й метр: 32768 копеек (2^15) - За 17-й метр: 65536 копеек (2^16) - За 18-й метр: 131072 копейки (2^17) Теперь получилось, что сумма за 18 метров будет равна: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131072. Эта последовательность образует геометрическую прогрессию, и сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле: \[ S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}, \] где \( a \) — первый член (1 копейка), \( r \) — общее отношение (2), и \( n \) — количество членов (18). Подставим значения в формулу: \[ S_{18} = 1 \frac{(2^{18} - 1)}{(2 - 1)} = 2^{18} - 1 = 262144 - 1 = 262143 \text{ копеек}. \] Переведем копейки в рубли: \[ 262143 \text{ копеек} = 2621,43 \text{ рубля}. \] Таким образом, богач уплатил за колодец 2621,43 рубля.