Рабочие взялись вырыть колодец у скупого богача. Они просили 500 руб. , но он не хотел дать. Тогда они сказали ему: «Уплати нам за первый метр 1 коп., за второй метр 2 коп. , за…

Чтобы решить эту задачу, необходимо понять, сколько денег работники получат за вырытый колодец глубиной 18 метров при установленной схеме оплаты.

Оплата за каждый метр колодца увеличивается в 2 раза, начиная с 1 копейки за первый метр. Это значит:

• За 1-й метр: 1 копейка (2^0)
• За 2-й метр: 2 копейки (2^1)
• За 3-й метр: 4 копейки (2^2)
• За 4-й метр: 8 копеек (2^3)
• За 5-й метр: 16 копеек (2^4)
• За 6-й метр: 32 копейки (2^5)
• За 7-й метр: 64 копейки (2^6)
• За 8-й метр: 128 копеек (2^7)
• За 9-й метр: 256 копеек (2^8)
• За 10-й метр: 512 копеек (2^9)
• За 11-й метр: 1024 копейки (2^10)
• За 12-й метр: 2048 копеек (2^11)
• За 13-й метр: 4096 копеек (2^12)
• За 14-й метр: 8192 копейки (2^13)
• За 15-й метр: 16384 копейки (2^14)
• За 16-й метр: 32768 копеек (2^15)
• За 17-й метр: 65536 копеек (2^16)
• За 18-й метр: 131072 копейки (2^17)

Теперь получилось, что сумма за 18 метров будет равна:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096 + 8192 + 16384 + 32768 + 65536 + 131072.

Эта последовательность образует геометрическую прогрессию, и сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

\[ S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}, \]

где \( a \) — первый член (1 копейка), \( r \) — общее отношение (2), и \( n \) — количество членов (18).

Подставим значения в формулу:

\[ S_{18} = 1 \frac{(2^{18} - 1)}{(2 - 1)} = 2^{18} - 1 = 262144 - 1 = 262143 \text{ копеек}. \]

Переведем копейки в рубли:

\[ 262143 \text{ копеек} = 2621,43 \text{ рубля}. \]

Таким образом, богач уплатил за колодец 2621,43 рубля.