В данном случае можно использовать свойства прямоугольного треугольника и формулы для вычисления радиуса описанной окружности.
Обозначим:
- ( a ) — длина первого катета (где угол между высотой и катетом равен 60 градусам),
- ( b = 16 , \text{см} ) — длина второго катета,
- ( R ) — радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника.
Известно, что радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины гипотенузы. Кроме того, можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения и длины гипотенузы, и длины катета ( a ).
Сначала найдем катет ( a ). Он связан с катетом ( b ) и углом 60° с помощью тригонометрии:
[
\tan(60^\circ) = \frac{a}{b}
]
Подставим значение ( b ):
[
\tan(60^\circ) = \sqrt{3} \implies a = b \cdot \sqrt{3} = 16 \cdot \sqrt{3} , \text{см}
]
Теперь можем найти гипотенузу ( c ):
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(16\sqrt{3})^2 + 16^2} = \sqrt{768 + 256} = \sqrt{1024} = 32 , \text{см}
]
Теперь найдем радиус ( R ):
[
R = \frac{c}{2} = \frac{32}{2} = 16 , \text{см}
]
Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника, равен ( 16 , \text{см} ).
