В приют для животных поступило 233 кг корма для собак. Корм был в пакетах по 20 кг и по 9 кг. Сколько всего было пакетов?
Обозначим количество пакетов по 20 кг как \( x \), а количество пакетов по 9 кг как \( y \). Составим уравнение на основании информации о весе корма:
\[ 20x + 9y = 233 \]
Кроме того, нам нужно найти общее количество пакетов:
\[ Z = x + y \]
Теперь мы можем выразить \( y \) через \( x \) из первого уравнения:
\[ 9y = 233 - 20x \]
\[ y = \frac{233 - 20x}{9} \]
Для того чтобы \( y \) было целым числом, \( 233 - 20x \) должно делиться на 9. Проверим возможные значения \( x \):
Рассмотрим деление 233 на 9:
\[ 233 \div 9 = 25.888\ldots \]
Остаток равен \( 233 - 9 \times 25 = 8 \).
Таким образом, \( 20x \) должно иметь тот же остаток 8 при делении на 9. Воспользуемся тем, что \( 20 \equiv 2 \mod 9 \):
\[ 20x \equiv 2x \mod 9 \]
Теперь решим уравнение:
\[ 2x \equiv 8 \mod 9 \]
Умножим обе стороны на 5 (обратное значение к 2 по модулю 9):
\[ 10x \equiv 40 \mod 9 \]
Сократим \( 10 \mod 9 \):
\[ x \equiv 4 \mod 9 \]
Следовательно, возможные значения \( x \):
\( x = 4, 13, 22, \ldots \)
Подставим эти значения в уравнение для \( y \).
Если \( x = 4 \): \[ 20 \cdot 4 + 9y = 233 \implies 80 + 9y = 233 \implies 9y = 153 \implies y = 17 \]
Если \( x = 13 \): \[ 20 \cdot 13 + 9y = 233 \implies 260 + 9y = 233 \implies 9y = -27 \quad (недопустимо) \]
Если \( x = 22 \): \[ 20 \cdot 22 + 9y = 233 \implies 440 + 9y = 233 \implies 9y = -207 \quad (недопустимо) \]
Таким образом, единственное допустимое значение:
- \( x = 4 \), \( y = 17 \).
Теперь найдем общее количество пакетов:
\[ Z = x + y = 4 + 17 = 21 \]
Итак, всего было 21 пакет.
