Чтобы найти вектор, перпендикулярный заданному вектору ( \mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} ), можно использовать свойство скалярного произведения: два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Заданный вектор можно представить в виде:
[
\mathbf{a} = (1, 2, -1).
]
Пусть ( \mathbf{b} = (x, y, z) ) — это искомый вектор. Тогда условие перпендикулярности можно записать, как:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 1 \cdot x + 2 \cdot y + (-1) \cdot z = 0.
]
Это приводит к уравнению:
[
x + 2y - z = 0.
]
Мы можем выбрать любые значения ( x ) и ( y ) и найти соответствующее значение ( z ).
Например, пусть ( x = 1 ) и ( y = 0 ):
[
1 + 2 \cdot 0 - z = 0 \quad \Rightarrow \quad 1 - z = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 1.
]
Таким образом, один из возможных перпендикулярных векторов:
[
\mathbf{b} = (1, 0, 1).
]
Другой пример: пусть ( x = 0 ) и ( y = 1 ):
[
0 + 2 \cdot 1 - z = 0 \quad \Rightarrow \quad 2 - z = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 2.
]
Тогда другой перпендикулярный вектор:
[
\mathbf{b} = (0, 1, 2).
]
Таким образом, примеры перпендикулярных векторов к вектору ( \mathbf{a} ) включают ( (1, 0, 1) ) и ( (0, 1, 2) ).
