Для решения уравнения ( \frac{x - 7}{2x + 1} = \frac{x + 1}{3x - 9} ) сначала перепишем его в более удобной форме. Для этого можем воспользоваться методом крест-накрест:
[
(x - 7)(3x - 9) = (x + 1)(2x + 1)
]
Теперь раскроем скобки:
Слева:
[
(x - 7)(3x - 9) = 3x^2 - 9x - 21x + 63 = 3x^2 - 30x + 63
]
Справа:
[
(x + 1)(2x + 1) = 2x^2 + x + 2x + 1 = 2x^2 + 3x + 1
]
Теперь приравняем оба выражения:
[
3x^2 - 30x + 63 = 2x^2 + 3x + 1
]
Переносим все в одну сторону:
[
3x^2 - 2x^2 - 30x - 3x + 63 - 1 = 0
]
Это упрощается до:
[
x^2 - 33x + 62 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-33)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 62 = 1089 - 248 = 841
]
Дискриминант положительный, поэтому у уравнения есть два решения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{33 \pm \sqrt{841}}{2 \cdot 1} = \frac{33 \pm 29}{2}
]
Теперь найдем оба корня:
( x_1 = \frac{33 + 29}{2} = \frac{62}{2} = 31 )
( x_2 = \frac{33 - 29}{2} = \frac{4}{2} = 2 )
Таким образом, у уравнения два решения:
[
x = 31 \quad \text{и} \quad x = 2
]
Если вам нужно проанализировать, подходят ли оба корня под начальные условия, вы можете подставить их обратно в уравнение.
