решить

Для решения определителя \( \begin{vmatrix} 1 & a_1 & 4 \\ -1 & 0 & 2 \\ c_1 & 0 & c_3 \end{vmatrix} \), воспользуемся правилом Саррюса для матриц 3x3. Формула для определителя:

\[ D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - (a_{13}a_{22}a_{31} + a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{21}a_{33}) \]

Подставим значения из матрицы:

\[ D = (1 \cdot 0 \cdot c_3) + (a_1 \cdot 2 \cdot c_1) + (4 \cdot -1 \cdot 0) - (4 \cdot 0 \cdot c_1 + 1 \cdot 2 \cdot 0 + a_1 \cdot -1 \cdot c_3) \]

Упростим выражение:

\[ D = 0 + 2a_1c_1 + 0 - (0 + 0 - a_1c_3) \]

\[ D = 2a_1c_1 + a_1c_3 \]

\[ D = a_1c_3 + 2a_1c_1 \]

Ответ: \(\text{a } a_1c_3 + 2a_1c_1\)