Чтобы доказать, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, рассмотрим следующее:
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть диагонали ромба обозначим (d_1) и (d_2). Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Площадь ромба можно вычислить по формуле для площади параллелограмма:
[
S = основание \times высота.
]
Однако, поскольку мы знаем о свойствах диагоналей, можем выразить площадь через длины диагоналей.
Поскольку диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника, площадь одного из этих треугольников можно выразить через его катеты, которые равны половинам диагоналей:
[
S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times \frac{d_1}{2} \times \frac{d_2}{2} = \frac{d_1 \cdot d_2}{8}.
]
Так как таких треугольников четыре, общая площадь ромба будет:
[
S_{ромба} = 4 \times S_{треугольника} = 4 \times \frac{d_1 \cdot d_2}{8} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}.
]
Таким образом, мы получаем, что площадь ромба действительно равна половине произведения его диагоналей:
[
S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2.
]
Теперь давайте вычислим площадь ромба для заданных диагоналей.
а) (d_1 = 3.2, дм) и (d_2 = 14, см)
Сначала преобразуем все единицы измерения в дециметры:
- (d_2 = 14, см = 1.4, дм).
Теперь можем подставить значения в формулу:
[
S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 3.2, дм \times 1.4, дм.
]
Вычисляем:
[
S = \frac{1}{2} \times 3.2 \times 1.4 = \frac{1}{2} \times 4.48 = 2.24, дм^2.
]
б) (d_1 = 4.6, дм) и (d_2 = 2, дм)
Теперь подставим значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 4.6, дм \times 2, дм.
]
Вычисляем:
[
S = \frac{1}{2} \times 4.6 \times 2 = \frac{1}{2} \times 9.2 = 4.6, дм^2.
]
Ответы:
а) Площадь ромба равна (2.24, дм^2);
б) Площадь ромба равна (4.6, дм^2).
