построй график функции y=|x|(2x-1)-3x и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки
Для построения графика функции \( y = |x|(2x - 1) - 3x \), сначала рассмотрим два случая для \( |x| \):
Когда \( x \geq 0 \), \( |x| = x \): \[ y = x(2x - 1) - 3x = 2x^2 - x - 3x = 2x^2 - 4x \]
Когда \( x < 0 \), \( |x| = -x \): \[ y = -x(2x - 1) - 3x = -2x^2 + x - 3x = -2x^2 - 2x \]
Теперь у нас есть два выражения для функции \( y \):
- Для \( x \geq 0 \): \( y = 2x^2 - 4x \)
- Для \( x < 0 \): \( y = -2x^2 - 2x \)
Найдем корни каждого случая
Для \( x \geq 0 \): \[ 2x^2 - 4x = 0 \] \[ 2x(x - 2) = 0 \] Корни: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
Для \( x < 0 \): \[ -2x^2 - 2x = 0 \] \[ -2x(x + 1) = 0 \] Корни: \( x = 0 \) и \( x = -1 \).
Теперь значения функции в этих точках:
- \( x = 0 \): \( y = 0 \)
- \( x = -1 \): \( y = -2(-1)^2 - 2(-1) = -2 + 2 = 0 \)
- \( x = 2 \): \( y = 2(2^2) - 4(2) = 8 - 8 = 0 \)
Эти точки пересечения с осью \( x \) (корни) определяют, что функция пересекает ось \( x \) в точках \( x = -1 \), \( x = 0 \) и \( x = 2 \).
Исследуем на наличие двух общих точек с \( y = m \)
Графики функции \( y \) и прямой \( y = m \) могут пересекаться в нескольких точках. Чтобы у нас было ровно две общие точки, необходимо отметить:
Для \( m < 0 \): График функции проходит ниже оси \( x \) в области между \( x = -1 \) и \( x = 0 \). В этой области есть две точки пересечения.
Для \( m = 0 \): Здесь три точки пересечения (\( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 2 \)).
Для \( m > 0 \): В этой области может быть только одно или два решения в зависимости от значения \( m \).
Чтобы поддерживать ровно два пересечения, \( m \) должно находиться в интервале: \[ m \in (-\infty, 0) \]
Таким образом, прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции \( y = |x|(2x - 1) - 3x \) при значениях: \[ m < 0 \]
