1.  а)  Решите уравнение б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2.  а)  Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что все грани тетраэдра ACB1D1  — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным). б)  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1  =  4, A1D1  =  6, C1D1  =  6, найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1. 3.  Решите неравенство 4.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 17 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,4 млн рублей? 5.  В треугольник ABC, в котором длина стороны AC меньше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно CO. а)  Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности. б)  Найдите площадь четырёхугольника AOBB1, если AB = 10, AC = 6 и BC = 8. 6.  Определите, при каких значениях параметра a уравнение имеет два различных решения. 7.  В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше 6. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день. а)  Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна 7. Может ли n быть больше 6? б)  Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше 2, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше 2,5? в)  Известно, что n  =  6. Какое наименьшее количество чисел могло быть записано за все эти дни?

1. а) Для решения уравнения, вам необходимо предоставить само уравнение, чтобы его можно было проанализировать и решить. б) Корни уравнения также будут зависеть от конкретного уравнения, которое нужно решить. 2. а) Рассмотрим тетраэдр \(ACB_1D_1\) в прямоугольном параллелепипеде. В данном тетраэдре: - \(AC\) — диагональ основания, длина которой равна \(AB\) и равна \(\sqrt{(4^2 + 6^2)} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\), - \(B_1D_1\) является вертикальным ребром, его длина равна \(6\), - \(CE\) — боковое ребро от точки \(C\) до вершины \(D_1\), а его длина равна \(\sqrt{(4-0)^2 + (6-0)^2}= \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\). Поскольку все треугольники равны по длине их сторон, тетраэдр равногранный. б) Найдем тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой, проходящей через середины ребер AB и B1C1. Для этого нужно найти векторы ADD1, а затем использовать формулу для нахождения угла. Углы можно вычислить, используя векторы. Необходимо будет найти координаты этих точек, исходя из данных значений. 3. Неравенство также не указано, следовательно, решение будет зависеть от его вида. 4. В случае, если долг ежегодно увеличивается на 10% и выплачивается фиксированная сумма в 3,4 млн рублей, то долг формируется следующим образом: - Долг через 1 год = 17 * 1.1 = 18,7 - Затем необходимо охватить 0,8 из долга либо выплачивается за год. Далее следует продолжить цикл до тех пор, пока долг не будет погашен. Это можно выразить в ряд формул с учетом процентов и платежей. 5. а) Точки A, B, O и B1 лежат на одной окружности, так как угол AOB равен углу AB1O (поскольку B1 - симметрична относительно CO), что косвенно подтверждает теорему о симметрии точек в окружности. б) Чтобы найти площадь четырехугольника AOBB1, потребуется воспользоваться формулой Герона для расчета площади треугольника и удвоить её, учитывая два получившихся треугольника. 6. Для уравнения необходимо письменно задать его. Установить количество различных решений будет зависеть от самого уравнения (например, при решении квадратного уравнения надо учитывать дискриминант). 7. а) Если сумма чисел за первый день равна 7, а для последующих дней сумма больше, чем количество, то n не может превышать 6, так как будет переходится 5 на 6 день и в данном случае количество 5, 4 и 3 не будут удовлетворять. б) Среднее арифметическое числа за день равное 7 (или прочему) не может быть меньше 2, если как итог при всех нолях получается, ты выбираешь только натуральные. в) Если n = 6, минимальная сумма может происходить (например, 1,1,1,1,1,3). Таким образом, минимальное количество = 7. Обратите внимание, что не все задачи полностью разрешены, так как не хватает начальных данных (например, какие именно уравнения необходимо решить).