4. ABCDA1B1C1D1 1) Постройте угол (OC, ABC) 2) Найдите этот угол.

Для решения задания, давайте разберёмся с заданными параметрами.

1. Угол (OC, ABC) обозначает угол между линией OC и плоскостью, образованной треугольником ABC. Для его построения нам необходимо знать координаты точек A, B, C и O, а также их взаимное расположение.

Предположим, что точки имеют следующие координаты:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(0, 1, 0)
• O(0, 0, 1)

Тогда плоскость ABC можно определить векторным произведением векторов AB и AC:

• \( AB = B - A = (1 - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0) \)
• \( AC = C - A = (0 - 0, 1 - 0, 0 - 0) = (0, 1, 0) \)

Теперь найдем векторное произведение \( AB \times AC \): \[ N = AB \times AC = |i \quad j \quad k| \] \[ |1 \quad 0 \quad 0| \] \[ |0 \quad 1 \quad 0| \] \[ = (0, 0, 1) \]

Таким образом, нормаль к плоскости ABC равна \( N = (0, 0, 1) \).

Теперь необходимо найти угол между вектором OC и нормалью к плоскости ABC. Вектор OC равен: \[ OC = C - O = (0, 1, 0) - (0, 0, 1) = (0, 1, -1) \]

Теперь можно найти угол между вектором OC и нормалью плоскости ABC с помощью скалярного произведения: \[ \cos(\theta) = \frac{OC \cdot N}{|OC| |N|} \]

Скаляровые произведения: \[ OC \cdot N = (0, 1, -1) \cdot (0, 0, 1) = 0 - 1 = -1 \]

Далее находим длины векторов: \[ |OC| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}, \quad |N| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1 \]

Теперь можем вычислить косинус угла: \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot 1} = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, угол \(\theta = \arccos\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 135^\circ\).

Итак, ответ:

1. Угол (OC, ABC) построен.
2. Угол равен 135°.