Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных окажется в черте города.

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала проанализируем условия. У нас есть 20 сбербанков, из которых 10 расположены за чертой города и 10 - в черте города. Мы должны выбрать 5 сбербанков и найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один, расположенный в черте города.

Сначала удобнее решить задачу, применив метод комплементарной вероятности. Мы найдем вероятность того, что среди выбранных 5 сбербанков не окажется ни одного, расположенного в черте города, а затем вычтем эту вероятность из 1.

1. Обозначим события:

   • Общее количество сбербанков: 20
   • Количество сбербанков в черте города: 10
   • Количество сбербанков за чертой города: 10

2. Количество способов выбрать 5 сбербанков из 20: \[ C(20, 5) \]

3. Количество способов выбрать 5 сбербанков только за чертой города (т.е. из 10): \[ C(10, 5) \]

4. Вероятность того, что все 5 выбранных сбербанков будут за чертой города: \[ P(\text{все за чертой}) = \frac{C(10, 5)}{C(20, 5)} \]

5. Теперь считаем количество сочетаний: \[ C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15504 \] \[ C(10, 5) = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5! \cdot 5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252 \]

6. Теперь находим вероятность того, что все 5 - это банки за чертой города: \[ P(\text{все за чертой}) = \frac{C(10, 5)}{C(20, 5)} = \frac{252}{15504} = \frac{1}{61} \]

7. Следовательно, вероятность того, что хотя бы один банк окажется в черте города: \[ P(\text{хотя бы один в черте}) = 1 - P(\text{все за чертой}) = 1 - \frac{1}{61} = \frac{60}{61} \]

Таким образом, вероятность того, что среди отобранных 5 сбербанков окажется хотя бы один, расположенный в черте города, составляет \(\frac{60}{61}\).