Длина медианы  m c m c ​ , проведённой к стороне  c c треугольника, вычисляется по формуле  m c = 2 a 2 + 2 b 2 − c 2 2 m c ​ = 2 2a 2 +2b 2 −c 2 ​ ​ , где  a a,  b b и  c c — стороны треугольника. Пользуясь этой формулой, найди медиану  m c m c ​ , если  a = 6 a=6,  b = 2 7 b=2 7 ​  и  c = 8 c=8.

Чтобы найти длину медианы \( m_c \), воспользуемся заданной формулой: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2} \] Подставим известные значения \( a = 6 \), \( b = \frac{2}{7} \), и \( c = 8 \). 1. Сначала найдём \( a^2 \), \( b^2 \) и \( c^2 \): \[ a^2 = 6^2 = 36 \] \[ b^2 = \left(\frac{2}{7}\right)^2 = \frac{4}{49} \] \[ c^2 = 8^2 = 64 \] 2. Теперь подставим эти значения в формулу: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 36 + 2 \cdot \frac{4}{49} - 64} \] 3. Вычислим выражение под корнем: \[ 2 \cdot 36 = 72 \] \[ 2 \cdot \frac{4}{49} = \frac{8}{49} \] Теперь выразим всё в одной дроби: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{72 + \frac{8}{49} - 64} \] Сначала преобразуем 72 и 64 к общему знаменателю 49: \[ 72 = \frac{72 \cdot 49}{49} = \frac{3528}{49} \] \[ 64 = \frac{64 \cdot 49}{49} = \frac{3136}{49} \] Теперь мы можем подставить обратно в уравнение: \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3528}{49} + \frac{8}{49} - \frac{3136}{49}} \] \[ m_c = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3528 + 8 - 3136}{49}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{400}{49}} \] 4. Упрощаем дальше: \[ m_c = \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} \] Таким образом, длина медианы \( m_c \) равна \( \frac{10}{7} \).