В ромбе диагонали относятся как 20 : 21. Найдите периметр ромба, если его площадь равна 840

Пусть длины диагоналей ромба будут \(d_1\) и \(d_2\). Согласно условию, они относятся как 20:21, то есть: \[ d_1 = 20k, \quad d_2 = 21k \] где \(k\) — некоторый положительный коэффициент. Площадь ромба вычисляется по формуле: \[ S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \] Подставим сюда выражения для диагоналей: \[ S = \frac{(20k)(21k)}{2} = \frac{420k^2}{2} = 210k^2 \] Согласно условию, площадь ромба равна 840: \[ 210k^2 = 840 \] Теперь решим это уравнение: \[ k^2 = \frac{840}{210} = 4 \quad \Rightarrow \quad k = 2 \] Теперь найдём длины диагоналей: \[ d_1 = 20k = 20 \cdot 2 = 40, \quad d_2 = 21k = 21 \cdot 2 = 42 \] Для нахождения периметра ромба, необходимо найти длину стороны ромба. Сторона ромба \(a\) связана с его диагоналями следующим образом: \[ a = \frac{\sqrt{d_1^2 + d_2^2}}{2} \] Теперь подставим значения диагоналей: \[ a = \frac{\sqrt{40^2 + 42^2}}{2} = \frac{\sqrt{1600 + 1764}}{2} = \frac{\sqrt{3364}}{2} = \frac{58}{2} = 29 \] Теперь можем найти периметр ромба: \[ P = 4a = 4 \cdot 29 = 116 \] Таким образом, периметр ромба равен 116.