Для решения задачи используем закон сохранения энергии. Когда кусочек льда будет таять, он будет поглощать тепло от кофе. Мы равняем количество теплоты, отданной кофе, количеству теплоты, полученной льдом, и тепло, полученное от температуры напитка, будет равно потерянному теплу.
Обозначим:
- ( T_f ) — конечная температура после таяния льда.
- ( m_к ) — масса кофе ( = 200 ) мл ( = 200 ) г (считаем, что плотность кофе равна плотности воды).
- ( c_к ) — удельная теплоемкость кофе ( \approx 4.18 ) Дж/(г·°C).
- ( m_л ) — масса льда ( = 20 ) г.
- ( c_л ) — удельная теплоемкость льда ( \approx 2.09 ) Дж/(г·°C).
- ( L ) — скрытая теплота плавления льда ( \approx 334 ) Дж/г.
- ( T_к ) — начальная температура кофе = 20 °C.
- ( T_л ) — начальная температура льда = -10 °C.
Сначала лед нагревается от -10 °C до 0 °C, затем плавится, а затем нагревается до конечной температуры ( T_f ).
Количество теплоты, которое лед получает на нагрев от -10 °C до 0 °C:
[ Q_1 = m_л \cdot c_л \cdot (0 - T_л) = 20 \cdot 2.09 \cdot (0 - (-10)) = 20 \cdot 2.09 \cdot 10 = 418 \text{ Дж} ]
Количество теплоты, которое лед получает при плавлении:
[ Q_2 = m_л \cdot L = 20 \cdot 334 = 6680 \text{ Дж} ]
Общее количество теплоты, полученное льдом:
[ Q_{\text{лед}} = Q_1 + Q_2 = 418 + 6680 = 7098 \text{ Дж} ]
Теперь найдем количество теплоты, которое теряет кофе, чтобы охладиться до конечной температуры ( T_f ):
[ Q_{\text{кофе}} = m_к \cdot c_к \cdot (T_f - T_к) = 200 \cdot 4.18 \cdot (T_f - 20) ]
По закону сохранения энергии:
[ Q_{\text{кофе}} + Q_{\text{лед}} = 0 ]
[ 200 \cdot 4.18 \cdot (T_f - 20) = -7098 ]
Теперь решим уравнение для ( T_f ):
[ 836 \cdot (T_f - 20) = -7098 ]
[ T_f - 20 = -\frac{7098}{836} ]
[ T_f - 20 = -8.49 ]
[ T_f = 20 - 8.49 ]
[ T_f \approx 11.51 \text{ °C} ]
Таким образом, конечная температура напитка после полного таяния льда приблизительно равна 11.5 °C.
