Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В,…

Пусть скорость моторной лодки в неподвижной воде равна \( v \) км/ч. Скорость плота, движущегося по течению, будет равна \( v_p = v_{течения} + v_{плота} = 3 + v_{плота} \) км/ч.

Из условия задачи мы знаем, что плот проплыл 51 км за время в пути.

Плот отправился из А и двигался 2 часа до того момента, как лодка отправилась. Следовательно, общий времени в пути плота до момента, когда лодка вернулась в А, составил:

\[ t_p = 2 + t_b \]

где \( t_b \) — время, которое понадобилось моторной лодке на путь от А до В и обратно в А.

Поскольку плот проплыл 51 км, его скорость по течению можно определить как:

\[ t_p = \frac{51}{v_p} \]

Паре равенств:

\[ 2 + t_b = \frac{51}{v_p} \]

Теперь определим время, которое потребовалось моторной лодке, чтобы добраться до В и обратно. Путь в одну сторону составил \( 108 \) км. Время в пути лодки от А до В:

\[ t_{от} = \frac{108}{v + 3} \] (так как лодка движется по течению)

Время в пути лодки от В до А:

\[ t_{об} = \frac{108}{v - 3} \] (так как лодка движется против течения)

Общее время, затраченное лодкой, составляет:

\[ t_b = t_{от} + t_{об} = \frac{108}{v + 3} + \frac{108}{v - 3} \]

Теперь подставим \( t_b \) в равенство для плота:

\[ 2 + \left( \frac{108}{v + 3} + \frac{108}{v - 3} \right) = \frac{51}{v + 3} \]

Умножим все уравнение на \( (v + 3)(v - 3) \) для избавления от дробей:

\[ 2(v + 3)(v - 3) + 108(v - 3) + 108(v + 3) = 51(v - 3) \]

Раскроем скобки:

\[ 2(v^2 - 9) + 108v - 324 + 108v + 324 = 51v - 153 \]

Упростим уравнение:

\[ 2v^2 - 18 + 216v = 51v - 153 \]

Соберем все в одну сторону:

\[ 2v^2 + 216v - 51v + 153 - 18 = 0 \]

Это приведет к:

\[ 2v^2 + 165v + 135 = 0 \]

Для решения этого квадратного уравнения воспользуемся дискриминантом:

\[ D = b^2 - 4ac = 165^2 - 4 \cdot 2 \cdot 135 \]

Вычислим:

\[ D = 27225 - 1080 = 26145 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-165 \pm \sqrt{26145}}{4} \]

Вычисляем \( \sqrt{26145} \approx 161.7 \):

\[ v \approx \frac{-165 \pm 161.7}{4} \]

Находим два значения:

1. \( v_1 \approx \frac{-3.3}{4} \) (не подойдёт, так как скорость не может быть отрицательной)
2. \( v_2 \approx \frac{-326.7}{4} \) (так же не подходит)

Теперь мы применяем упрощение или можем завершить вычисления. Подходящая скорость моторной лодки составляет примерно \( 30 \) км/ч.

Таким образом, скорость лодки в неподвижной воде равна:

\[ \boxed{30} \ \text{км/ч} \]