Обозначим количество голов, которые срубили Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алёша Попович, как (I), (D) и (A) соответственно.
Сначала запишем общее количество срубленных голов:
[
S = I + D + A
]
Теперь рассмотрим первую ситуацию: если бы Илья срубил голов вдвое больше, чем он срубил на самом деле, то есть (2I), то общее количество срубленных голов стало бы:
[
2I + D + A
]
В этом случае по условию мы знаем, что общее количество голов увеличивается на 45%, то есть:
[
2I + D + A = S + 0.45S = 1.45S
]
Подставим (S = I + D + A):
[
2I + D + A = 1.45(I + D + A)
]
Раскрываем скобки:
[
2I + D + A = 1.45I + 1.45D + 1.45A
]
Переносим все выражения на одну сторону:
[
2I + D + A - 1.45I - 1.45D - 1.45A = 0
]
Приведем подобные:
[
(2 - 1.45)I + (1 - 1.45)D + (1 - 1.45)A = 0
]
[
0.55I - 0.45D - 0.45A = 0
]
Упрощаем это уравнение:
[
55I = 45D + 45A
]
Теперь рассмотрим вторую ситуацию: если бы Алёша срубил голов в четыре раза меньше, чем он срубил на самом деле, то есть (\frac{A}{4}), то общее количество срубленных голов уменьшилось бы на 15%, то есть стало бы:
[
I + D + \frac{A}{4}
]
По условию это равно:
[
I + D + \frac{A}{4} = S - 0.15S = 0.85S
]
Снова подставим (S = I + D + A):
[
I + D + \frac{A}{4} = 0.85(I + D + A)
]
Раскрываем скобки:
[
I + D + \frac{A}{4} = 0.85I + 0.85D + 0.85A
]
Переносим все выражения на одну сторону:
[
I + D + \frac{A}{4} - 0.85I - 0.85D - 0.85A = 0
]
Приведем подобные:
[
(1 - 0.85)I + (1 - 0.85)D + \left(\frac{A}{4} - 0.85A\right) = 0
]
[
0.15I + 0.15D - 0.65A = 0
]
Упрощаем это уравнение:
[
15I + 15D = 65A
]
Или:
[
3I + 3D = 13A
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- (55I = 45D + 45A)
- (3I + 3D = 13A)
Первое уравнение можно упростить, делим на 5:
[
11I = 9D + 9A
]
Теперь выразим (I) в терминах (D) и (A) из второго уравнения:
[
3I = 13A - 3D \Rightarrow I = \frac{13A - 3D}{3}
]
Подставим это выражение (I) в первое уравнение:
[
11 \cdot \frac{13A - 3D}{3} = 9D + 9A
]
Умножим на 3, чтобы избавиться от дроби:
[
11(13A - 3D) = 27D + 27A
]
Раскроем скобки:
[
143A - 33D = 27D + 27A
]
Соберем все члены:
[
143A - 27A = 33D + 27D
]
[
116A = 60D
]
Перепишем это как:
[
\frac{A}{D} = \frac{60}{116} = \frac{15}{29}
]
Теперь подставим это соотношение в выражение для (I):
[
11I = 9D + 9\cdot \frac{15}{29} D = 9D(1 + \frac{15}{29}) = 9D \cdot \frac{44}{29} = \frac{396}{29} D
]
Следовательно:
[
I = \frac{396}{11 \cdot 29} D = \frac{36}{29} D
]
Теперь подставим (I) и (A) в общее количество:
[
S = I + D + A = \frac{36}{29}D + D + \frac{15}{29} D = \left(\frac{36}{29} + 1 + \frac{15}{29}\right)D
]
Сложим:
[
S = \left(\frac{36 + 29 + 15}{29}\right)D = \frac{80}{29}D
]
Теперь мы можем найти долю каждого богатыря:
[
\frac{D}{S} = \frac{D}{\frac{80}{29}D} = \frac{29}{80}
]
Следовательно, доля Добрыни Никитича в процентах будет:
[
\frac{29}{80} \cdot 100% = 36.25%
]
Таким образом, Добрыня Никитич срубил 36.25% от суммарного количества голов.
