даны четыре точки плоскости xOy: O( 0,0)A(4,0)B(0,8) C(4,8) вычеслить криволинейный интеграл (3x²-y)dx-(x+2y)dy от точки O , до точки C по трем путям по ломаной OAC по ломаной OBC…

Чтобы вычислить криволинейный интеграл \( \int_C (3x^2 - y) \, dx - (x + 2y) \, dy \) по заданным путям, мы рассмотрим каждый путь отдельно.

1. Путь OAC

Координаты точек:

• \( O(0,0) \)
• \( A(4,0) \)
• \( C(4,8) \)

Разделим путь на два отрезка:

1. От \( O \) до \( A \): \( y = 0 \) (прямолинейный путь)
2. От \( A \) до \( C \): \( x = 4 \) (вертикальный путь)

1.1. Путь O -> A: На этом отрезке \( y = 0 \), \( dx = dx \), \( dy = 0 \). Тогда: \[ \int_{O}^{A} (3x^2 - 0) \, dx - (x + 2 \cdot 0) \cdot 0 \, dy = \int_{0}^{4} 3x^2 \, dx \] Вычислим: \[ \int_{0}^{4} 3x^2 \, dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} = \left[ x^3 \right]_{0}^{4} = 4^3 - 0^3 = 64 \]

1.2. Путь A -> C: Здесь \( x = 4 \), \( dy = dy \), \( dx = 0 \). \[ \int_{A}^{C} (3 \cdot 4^2 - y) \cdot 0 \, dx - (4 + 2y) \, dy = - \int_{0}^{8} (4 + 2y) \, dy \] Вычислим: \[ - \left[ 4y + y^2 \right]_{0}^{8} = - \left( 4 \cdot 8 + 8^2 \right) = - (32 + 64) = -96 \]

Итого для пути OAC: \[ 64 - 96 = -32 \]

2. Путь OBC

Координаты точек:

• \( O(0,0) \)
• \( B(0,8) \)
• \( C(4,8) \)

Разделим путь на два отрезка:

1. От \( O \) до \( B \): \( x = 0 \) (вертикальный путь)
2. От \( B \) до \( C \): \( y = 8 \) (горизонтальный путь)

2.1. Путь O -> B: На этом отрезке \( x = 0 \), \( dy = dy \), \( dx = 0 \). \[ \int_{O}^{B} (3 \cdot 0^2 - y) \cdot 0 \, dx - (0 + 2y) \, dy = - \int_{0}^{8} 2y \, dy \] Вычислим: \[ - \left[y^2 \right]_{0}^{8} = - (8^2 - 0^2) = -64 \]

2.2. Путь B -> C: Здесь \( y = 8 \), \( dy = 0 \), \( dx = dx \). \[ \int_{B}^{C} (3x^2 - 8) \, dx - (x + 2 \cdot 8) \cdot 0 \, dy = \int_{0}^{4} (3x^2 - 8) \, dx \] Вычислим: \[ \int_{0}^{4} (3x^2 - 8) \, dx = \left[ x^3 - 8x \right]_{0}^{4} = (64 - 32) = 32 \]

Итого для пути OBC: \[ -64 + 32 = -32 \]

3. Путь по дуге OC (парабола \( y = \frac{1}{2} x^2 \))

Координаты точек:

• \( O(0,0) \)
• \( C(4,8) \)

Здесь \( y = \frac{1}{2} x^2 \): Тогда \( dy = x \, dx \).

Выразим интеграл: \[ \int_{0}^{4} \left(3x^2 - \frac{1}{2} x^2\right) \, dx - \left(x + 2 \cdot \frac{1}{2} x^2\right) x \, dx \] \[ = \int_{0}^{4} \left( \frac{5}{2} x^2 - (x + x^2) x \right) \, dx = \int_{0}^{4} \left( \frac{5}{2} x^2 - x^2 - x^3 \right) \, dx = \int_{0}^{4} \left( \frac{3}{2} x^2 - x^3 \right) \, dx \]

Вычислим: \[ = \left[ \frac{3}{6} x^3 - \frac{1}{4} x^4 \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4}x^4 \right]_{0}^{4} = \left( \frac{1}{2} \cdot 64 - \frac{1}{4} \cdot 256 \right) = \left( 32 - 64 \right) = -32 \]

Итого

Все три пути дают один и тот же результат: \[ \int_C (3x^2 - y) \, dx - (x + 2y) \, dy = -32 \]