найдите координаты вершины K параллелограмма EFPK, если E ( 3; -1 ), F ( -3; 3 ), P ( 2; -2 )
Для нахождения координат вершины K параллелограмма EFPK, можно воспользоваться свойством, что диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.
Обозначим координаты точки K как (x_K, y_K). В параллелограмме EFPK можно записать, что средняя точка диагонали EP равна средней точке диагонали FK.
Сначала найдем середину диагонали EP:
Координаты точки E: \( E(3; -1) \)
Координаты точки P: \( P(2; -2) \)
Середина EP:
\[ M_{EP} = \left( \frac{x_E + x_P}{2}, \frac{y_E + y_P}{2} \right) = \left( \frac{3 + 2}{2}, \frac{-1 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{-3}{2} \right) \]
Теперь найдём координаты K. Поскольку K и F находятся на другой диагонали, мы можем записать для середины диагонали FK:
Координаты точки F: \( F(-3; 3) \)
Середина FK:
\[ M_{FK} = \left( \frac{x_F + x_K}{2}, \frac{y_F + y_K}{2} \right) \]
Поскольку середины у диагоналей равны, можно записать:
\[ \left( \frac{-3 + x_K}{2}, \frac{3 + y_K}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{-3}{2} \right) \]
Теперь решим систему уравнений:
- \(\frac{-3 + x_K}{2} = \frac{5}{2}\)
Умножив обе части на 2:
\(-3 + x_K = 5\)
\(x_K = 5 + 3 = 8\)
- \(\frac{3 + y_K}{2} = \frac{-3}{2}\)
Умножив обе части на 2:
\(3 + y_K = -3\)
\(y_K = -3 - 3 = -6\)
Таким образом, координаты точки K:
\( K(8; -6) \)
