Для решения данной задачи сначала найдем корни квадратного уравнения (x^2 -(a+2)x-(a+5) =0) с помощью формулы корней:
[
x_{1,2} = \frac{-(b) \pm \sqrt{D}}{2a},
]
где (a = 1), (b = -(a+2)) и (c = -(a+5)). Вычислим дискриминант (D):
[
D = b^2 - 4ac = (-(a+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(a+5)) = (a+2)^2 + 4(a+5).
]
Раскроем скобки:
[
D = (a^2 + 4a + 4) + (4a + 20) = a^2 + 8a + 24.
]
Теперь вычислим сумму и произведение корней:
- Сумма корней:
[
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = a + 2.
]
- Произведение корней:
[
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = -(a+5).
]
Теперь используя формулу для суммы квадратов корней (x_1^2 + x_2^2):
[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = (a+2)^2 - 2(- (a + 5)).
]
Подставим значения:
[
x_1^2 + x_2^2 = (a + 2)^2 + 2(a + 5).
]
Раскроем скобки:
[
(a + 2)^2 + 2(a + 5) = a^2 + 4a + 4 + 2a + 10 = a^2 + 6a + 14.
]
Условие задачи гласит, что (x_1^2 + x_2^2 = 9):
[
a^2 + 6a + 14 = 9.
]
Решим это уравнение:
[
a^2 + 6a + 14 - 9 = 0 \Rightarrow a^2 + 6a + 5 = 0.
]
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16.
]
Корни вычислим по формуле:
[
a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm 4}{2}.
]
Таким образом, получаем два корня:
[
a_1 = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1,
]
[
a_2 = \frac{-6 - 4}{2} = \frac{-10}{2} = -5.
]
Таким образом, значения параметра (a), при которых корни (x_1) и (x_2) удовлетворяют условию (x_1^2 + x_2^2 = 9), это:
[
a = -1 \quad \text{и} \quad a = -5.
]
