Для начала разберем функцию ( y = -5 - \frac{x - 1}{x^2 - x} ). Чтобы определить, при каких значениях ( m ) прямая ( y = m ) не имеет общих точек с графиком этой функции, необходимо решить уравнение:
[
-5 - \frac{x - 1}{x^2 - x} = m.
]
Перепишем это уравнение:
[
-\frac{x - 1}{x^2 - x} = m + 5.
]
Домножим обе стороны на ( x^2 - x ) (предварительно учтем, что ( x^2 - x \neq 0 ), то есть ( x \neq 0 ) и ( x \neq 1 )):
[
-(x - 1) = (m + 5)(x^2 - x).
]
Раскроем скобки:
[
-(x - 1) = (m + 5)x^2 - (m + 5)x.
]
Переносим все в одну сторону:
[
0 = (m + 5)x^2 - (m + 6)x + 1.
]
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
(m + 5)x^2 - (m + 6)x + 1 = 0.
]
Чтобы прямая ( y = m ) не имела общих точек с графиком функции, необходимо, чтобы это квадратное уравнение не имело вещественных корней. Это происходит, если дискриминант ( D ) меньше нуля:
[
D = b^2 - 4ac,
]
где ( a = m + 5, b = -(m + 6), c = 1 ).
Подставим значения:
[
D = (-(m + 6))^2 - 4(m + 5)(1) = (m + 6)^2 - 4(m + 5).
]
Приравняем и упростим:
[
D = (m + 6)^2 - 4m - 20 = m^2 + 12m + 36 - 4m - 20 = m^2 + 8m + 16.
]
Теперь находим, при каких значениях ( m ) дискриминант меньше нуля:
[
m^2 + 8m + 16 < 0.
]
Это неравенство можно решить, заметив, что ( m^2 + 8m + 16 = (m + 4)^2 ):
[
(m + 4)^2 < 0.
]
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, следовательно, данное неравенство не имеет решений. То есть, прямая ( y = m ) всегда будет пересекаться с графиком функции ( y = -5 - \frac{x - 1}{x^2 - x} ) для всех возможных значений ( m ), кроме случаев, когда ( x ) равен 0 или 1, где функция не определена.
Таким образом, для всех значений ( m ) прямая ( y = m ) имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции, за исключением случаев, когда определенные значения ( x ) (0 или 1) делают функцию неопределенной.
