решите биквадратные уравнения х⁴-5х²+4=0
Для решения биквадратного уравнения \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \), давайте сделаем замену переменной. Обозначим \( y = x^2 \). Тогда уравнение можно переписать как:
\[ y^2 - 5y + 4 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Подставим значения \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 4 \):
\[ y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} \] \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ y = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Это дает два решения:
- \( y_1 = \frac{8}{2} = 4 \)
- \( y_2 = \frac{2}{2} = 1 \)
Теперь вернемся к переменной \( x \):
Если \( y = 4 \), то \( x^2 = 4 \), и это дает: \[ x = \pm 2 \]
Если \( y = 1 \), то \( x^2 = 1 \), и это дает: \[ x = \pm 1 \]
Таким образом, все решения исходного уравнения \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \) следующие:
\[ x = 2, \, x = -2, \, x = 1, \, x = -1 \]
Итак, окончательные ответы:
\( x = 2, \, -2, \, 1, \, -1 \)
