Для решения биквадратного уравнения ( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 ), давайте сделаем замену переменной. Обозначим ( y = x^2 ). Тогда уравнение можно переписать как:
[
y^2 - 5y + 4 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:
[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Подставим значения ( a = 1 ), ( b = -5 ), ( c = 4 ):
[
y = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}
]
[
y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2}
]
[
y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2}
]
[
y = \frac{5 \pm 3}{2}
]
Это дает два решения:
- ( y_1 = \frac{8}{2} = 4 )
- ( y_2 = \frac{2}{2} = 1 )
Теперь вернемся к переменной ( x ):
Если ( y = 4 ), то ( x^2 = 4 ), и это дает:
[
x = \pm 2
]
Если ( y = 1 ), то ( x^2 = 1 ), и это дает:
[
x = \pm 1
]
Таким образом, все решения исходного уравнения ( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 ) следующие:
[
x = 2, , x = -2, , x = 1, , x = -1
]
Итак, окончательные ответы:
( x = 2, , -2, , 1, , -1 )
