15. На конкурсе «Мисс-261» выступление каждой участиицы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за…
15. На конкурсе «Мисс-261» выступление каждой участиицы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление участницы С все члены жори выставили различные оценки. По старой системе оце-нивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются две наибольшие оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оце- HOK. а) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценива- ния, быть равной 18? б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценива- ния, быть равной 2015? в) Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по ста- рой и новой системам оценивания.
Для анализа поставленной задачи нужно рассмотреть две системы оценивания и вычислить разности между итоговыми баллами.
Часть а: Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценки, быть равной 18?
Старая система: Пусть оценки судей - \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\). Тогда средний балл по старой системе будет: \[ S = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} \]
Новая система: В новой системе отбрасываются две наибольшие оценки. Пусть наибольшие оценки — это \(a_5\) и \(a_6\), тогда: \[ N = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} \]
Разность: \[ D = S - N = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} - \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} \]
Для упрощения вычислений можно привести к общему знаменателю: \[ D = \frac{4(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) - 6(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}{24} \] \[ D = \frac{4a_5 + 4a_6 - 2a_1 - 2a_2 - 2a_3 - 2a_4}{24} \]
Однако нам важно, может ли разность \(D\) быть равной 18. Максимальное значение \(a_i\) — 10, следовательно, \(a_5 + a_6\) максимум 20. Минимум \(2a_1 + 2a_2 + 2a_3 + 2a_4\) — 0. Таким образом, разность не может превышать 20/24 = 5/3.
Ответ: Нет, разность не может равняться 18.
Часть б: Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценки, быть равной 2015?
Рассмотрим разность \(D\):
- Невозможно получить разность, равную 2015, так как суммарные оценки 6 судей могут варьироваться от 0 до 60.
Ответ: Нет, разность не может равняться 2015.
Часть в: Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов.
Чтобы вычесть наименьшую разность \(D\) между системами, нужно минимизировать старую оценку \(S\) и максимизировать новую \(N\):
Если брать минимальные оценки, \(a_1, a_2, a_3, a_4\) равные 0 и \(a_5, a_6\) равные 10, то: \[ S = \frac{0 + 0 + 0 + 0 + 10 + 10}{6} = \frac{20}{6} \approx 3.33 \]
Новая система: \[ N = \frac{0 + 0 + 0 + 0}{4} = 0 \]
Таким образом, наименьшая разность: \[ D = S - N = 3.33 - 0 = 3.33 \]
Наименьшее целое значение при округлении — 3 (если верхние оценки максимально возможные).
Ответ: 3 – минимальная возможная разность итоговых баллов по старой и новой системам оценки.
