15. На конкурсе «Мисс-261» выступление каждой участиицы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление участницы С все члены жори выставили различные оценки. По старой системе оце-нивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются две наибольшие оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оце- HOK. а) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценива- ния, быть равной 18? б) Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценива- ния, быть равной 2015? в) Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по ста- рой и новой системам оценивания.

Для анализа поставленной задачи нужно рассмотреть две системы оценивания и вычислить разности между итоговыми баллами. ### Часть а: Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценки, быть равной 18? 1. **Старая система**: Пусть оценки судей - \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\). Тогда средний балл по старой системе будет: \[ S = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} \] 2. **Новая система**: В новой системе отбрасываются две наибольшие оценки. Пусть наибольшие оценки — это \(a_5\) и \(a_6\), тогда: \[ N = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} \] 3. **Разность**: \[ D = S - N = \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6}{6} - \frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4}{4} \] Для упрощения вычислений можно привести к общему знаменателю: \[ D = \frac{4(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6) - 6(a_1 + a_2 + a_3 + a_4)}{24} \] \[ D = \frac{4a_5 + 4a_6 - 2a_1 - 2a_2 - 2a_3 - 2a_4}{24} \] Однако нам важно, может ли разность \(D\) быть равной 18. Максимальное значение \(a_i\) — 10, следовательно, \(a_5 + a_6\) максимум 20. Минимум \(2a_1 + 2a_2 + 2a_3 + 2a_4\) — 0. Таким образом, разность не может превышать 20/24 = 5/3. **Ответ**: Нет, разность не может равняться 18. ### Часть б: Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценки, быть равной 2015? Рассмотрим разность \(D\): - Невозможно получить разность, равную 2015, так как суммарные оценки 6 судей могут варьироваться от 0 до 60. **Ответ**: Нет, разность не может равняться 2015. ### Часть в: Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов. Чтобы вычесть наименьшую разность \(D\) между системами, нужно минимизировать старую оценку \(S\) и максимизировать новую \(N\): - Если брать минимальные оценки, \(a_1, a_2, a_3, a_4\) равные 0 и \(a_5, a_6\) равные 10, то: \[ S = \frac{0 + 0 + 0 + 0 + 10 + 10}{6} = \frac{20}{6} \approx 3.33 \] Новая система: \[ N = \frac{0 + 0 + 0 + 0}{4} = 0 \] Таким образом, наименьшая разность: \[ D = S - N = 3.33 - 0 = 3.33 \] Наименьшее целое значение при округлении — 3 (если верхние оценки максимально возможные). **Ответ**: 3 – минимальная возможная разность итоговых баллов по старой и новой системам оценки.