высоты проведённые к боковым сторонам AB и АС остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника если угол BMC равен 140°

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с \(AB = AC\) высоты, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке \(M\). Обозначим угол при вершине \(A\) как \(α\) (где \(α = \angle BAC\)). Тогда углы при основаниях \(B\) и \(C\) равны и обозначим их как \(β\).

Сумма углов треугольника \(ABC\) равна 180°: \[ α + 2β = 180°. \]

Угол \(BMC\) — это внешний угол для треугольника \(ABM\) и \(ACM\). Используя свойства внешнего угла, мы знаем, что: \[ \angle BMC = \angle BAM + \angle CAM. \]

Поскольку высоты \(AM\) и \(BM\) являются углами, соответствующими высотам, можно заметить, что эти углы составляют половину угла \(A\): \[ \angle BAM = \angle CAM = \frac{α}{2}. \] Таким образом, мы имеем: \[ 140° = \frac{α}{2} + \frac{α}{2} = α. \]

Следовательно, \[ α = 140°. \]

Теперь используем выражение для суммы углов: \[ 140° + 2β = 180° \implies 2β = 180° - 140° = 40° \implies β = 20°. \]

Таким образом, углы треугольника \(ABC\) равны: \[ \angle A = 140°, \quad \angle B = 20°, \quad \angle C = 20°. \]