В равнобедренном треугольнике (ABC) с (AB = AC) высоты, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке (M). Обозначим угол при вершине (A) как (α) (где (α = \angle BAC)). Тогда углы при основаниях (B) и (C) равны и обозначим их как (β).
Сумма углов треугольника (ABC) равна 180°:
[
α + 2β = 180°.
]
Угол (BMC) — это внешний угол для треугольника (ABM) и (ACM). Используя свойства внешнего угла, мы знаем, что:
[
\angle BMC = \angle BAM + \angle CAM.
]
Поскольку высоты (AM) и (BM) являются углами, соответствующими высотам, можно заметить, что эти углы составляют половину угла (A):
[
\angle BAM = \angle CAM = \frac{α}{2}.
]
Таким образом, мы имеем:
[
140° = \frac{α}{2} + \frac{α}{2} = α.
]
Следовательно,
[
α = 140°.
]
Теперь используем выражение для суммы углов:
[
140° + 2β = 180° \implies 2β = 180° - 140° = 40° \implies β = 20°.
]
Таким образом, углы треугольника (ABC) равны:
[
\angle A = 140°, \quad \angle B = 20°, \quad \angle C = 20°.
]
