Для решения уравнения (\log_{1/3}(3^x + 2x - 3) = -x), начнем с преобразования логарифмического уравнения.
Уравнение (\log_{1/3}(y) = -x) можно переписать в экспоненциальной форме:
[
y = (1/3)^{-x} = 3^x
]
Таким образом, мы можем записать исходное уравнение как:
[
3^x + 2x - 3 = 3^x
]
Теперь упростим уравнение:
[
3^x + 2x - 3 = 3^x
]
Отнимаем (3^x) с обеих сторон:
[
2x - 3 = 0
]
Теперь решим это уравнение относительно (x):
[
2x = 3 \
x = \frac{3}{2}
]
Таким образом, корень уравнения:
[
x = \frac{3}{2}
]
Для проверки подставим (x = \frac{3}{2}) в исходное уравнение:
[
\log_{1/3}(3^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{2} - 3)
]
Вычисляем (3^{3/2} = 3\sqrt{3}) и (2 \cdot \frac{3}{2} = 3):
[
3\sqrt{3} + 3 - 3 = 3\sqrt{3}
]
Теперь находим (\log_{1/3}(3\sqrt{3})):
Это можно записать следующим образом:
[
\log_{1/3}(3\sqrt{3}) = \log_{1/3}(3) + \log_{1/3}(\sqrt{3})
]
Где (\log_{1/3}(3) = -1) и (\log_{1/3}(\sqrt{3}) = \log_{1/3}(3^{1/2}) = -\frac{1}{2}):
[
\log_{1/3}(3\sqrt{3}) = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}
]
Сравнивая с правой частью уравнения:
[
-x = -\frac{3}{2}
]
Таким образом, обе части равны, и решение верно.
Ответ: (x = \frac{3}{2}).
