найдите корень уравнения логарифм (3 в степени х + 2х - 3) по основанию 1/3 = -х

Для решения уравнения \(\log_{1/3}(3^x + 2x - 3) = -x\), начнем с преобразования логарифмического уравнения.

Уравнение \(\log_{1/3}(y) = -x\) можно переписать в экспоненциальной форме:

\[ y = (1/3)^{-x} = 3^x \]

Таким образом, мы можем записать исходное уравнение как:

\[ 3^x + 2x - 3 = 3^x \]

Теперь упростим уравнение:

\[ 3^x + 2x - 3 = 3^x \]

Отнимаем \(3^x\) с обеих сторон:

\[ 2x - 3 = 0 \]

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\[ 2x = 3 \\ x = \frac{3}{2} \]

Таким образом, корень уравнения:

\[ x = \frac{3}{2} \]

Для проверки подставим \(x = \frac{3}{2}\) в исходное уравнение:

\[ \log_{1/3}(3^{3/2} + 2 \cdot \frac{3}{2} - 3) \]

Вычисляем \(3^{3/2} = 3\sqrt{3}\) и \(2 \cdot \frac{3}{2} = 3\):

\[ 3\sqrt{3} + 3 - 3 = 3\sqrt{3} \]

Теперь находим \(\log_{1/3}(3\sqrt{3})\):

Это можно записать следующим образом:

\[ \log_{1/3}(3\sqrt{3}) = \log_{1/3}(3) + \log_{1/3}(\sqrt{3}) \]

Где \(\log_{1/3}(3) = -1\) и \(\log_{1/3}(\sqrt{3}) = \log_{1/3}(3^{1/2}) = -\frac{1}{2}\):

\[ \log_{1/3}(3\sqrt{3}) = -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \]

Сравнивая с правой частью уравнения:

\[ -x = -\frac{3}{2} \]

Таким образом, обе части равны, и решение верно.

Ответ: \(x = \frac{3}{2}\).