Чтобы разложить квадратный трехчлен ( 6x^2 - 16x - 64 ) на множители и найти второй двучлен, начнем с того, что в вашем выражении уже вынесен множитель ( 6 ).
Теперь у нас есть:
[
6(x^2 - \frac{16}{6}x - \frac{64}{6}) = 6(x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{32}{3})
]
Теперь нам нужно раскладывать квадратный трехчлен ( x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{32}{3} ). Для этого найдем корни уравнения:
[
x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{32}{3} = 0
]
Используем формулу дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{32}{3}\right)
]
[
D = \frac{64}{9} + \frac{128}{3} = \frac{64}{9} + \frac{384}{9} = \frac{448}{9}
]
Теперь находим корни:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{\frac{8}{3} \pm \sqrt{\frac{448}{9}}}{2}
]
[
= \frac{\frac{8}{3} \pm \frac{8\sqrt{7}}{3}}{2} = \frac{8 \pm 8\sqrt{7}}{6} = \frac{4(1 \pm \sqrt{7})}{3}
]
Так, корни ( x_1 = \frac{4(1 + \sqrt{7})}{3} ) и ( x_2 = \frac{4(1 - \sqrt{7})}{3} ).
Теперь мы можем записать разложение квадратного трехчлена:
[
x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{32}{3} = \left(x - \frac{4(1 + \sqrt{7})}{3}\right)\left(x - \frac{4(1 - \sqrt{7})}{3}\right)
]
Теперь подставляем это в изначальное выражение:
[
6(x - \frac{4(1 + \sqrt{7})}{3})(x - \frac{4(1 - \sqrt{7})}{3})
]
Таким образом, второй двучлен в разложении на множители станет:
[
(x - \frac{4(1 - \sqrt{7})}{3})
]
Подытожим:
[
6x^2 - 16x - 64 = 6\left(x + 4\right)\left(x - \frac{4(1 - \sqrt{7})}{3}\right)
]
Выражение с ( 6 ) и первым множителем ( (x + 4) ) уже полностью записано, и мы нашли второй двучлен.
