Реши

Для решения задачи воспользуемся следующим подходом:

1. Найдём углы на окружности:

   • Точка \( А \) находится на большем сегменте окружности, и так как проведён диаметр \( АС \), то \( \angle ABC \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( AC \).

2. Пропорции дуг:

   • Градусные меры дуг, на которые точки \( A \) и \( B \) делят окружность, пропорциональны числам \( 6 \) и \( 9 \). Это значит, что центральные углы, соответствующие этим дугам, также имеют пропорцию \( 6:9 \).

3. Центральные углы:

   • Пусть центральные углы \( \angle AOC = 6x \) и \( \angle BOC = 9x \).
   • Сумма всех углов вокруг точки \( O \), центра окружности, равна \( 360^\circ \). Значит: \[ 6x + 9x = 180^\circ \quad (\text{т.к. остальные } 180^\circ \quad \text{занимает диаметр}) \]
   • \( 15x = 180^\circ \)
   • \( x = 12^\circ \)

4. Найдем \( \angle AOB \):

   • \( \angle AOB = 6x = 72^\circ \) (центральный угол, которого соответствует дуга).

5. Выводы:

   • \( \angle ABC = \frac{1}{2} \times 72^\circ = 36^\circ \) (как вписанный угол).
   • Углы в треугольнике \( ABC \) равны:
     • \( \angle BAC = \frac{1}{2} \times 108^\circ = 54^\circ \)
     • \( \angle ACB = 90^\circ \) (так как угол \( \angle ACB \) опирается на диаметр).

Ответ: Углы треугольника \( ABC \) равны \( 36^\circ, 54^\circ, \) и \( 90^\circ \).