Чтобы решить уравнение ( x^3 - 3x + 2 = 0 ), можем воспользоваться методом деления или подбора корней.
Попробуем подставить возможные значения для ( x ).
- Подставим ( x = 1 ):
[
1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0
]
( x = 1 ) является корнем уравнения.
Теперь можем факторизовать многочлен, используя корень ( x - 1 ).
Найдём другие корни, разделив ( x^3 - 3x + 2 ) на ( x - 1 ) с помощью деления многочленов:
[
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(Ax^2 + Bx + C)
]
Рассчитаем коэффициенты ( A, B, C ) с помощью сравнения коэффициентов:
- ( A = 1 ) (поскольку ( x^3 ) в первом многочлене).
- Затем, из ( -1 + B = -3 ), получаем ( B = -2 ).
- Наконец, ( -C = 2 ), следовательно, ( C = -2 ).
Таким образом, мы имеем:
[
x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 - 2x - 2)
]
Теперь решим квадратное уравнение ( x^2 - 2x - 2 = 0 ) с помощью формулы корней:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = -2, c = -2 ).
- Находим дискриминант:
[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12
]
- Теперь находим корни:
[
x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}
]
Таким образом, у нас есть три корня уравнения:
[
x_1 = 1, \quad x_2 = 1 + \sqrt{3}, \quad x_3 = 1 - \sqrt{3}
]
Ответ: ( x = 1, ; x = 1 + \sqrt{3}, ; x = 1 - \sqrt{3} ).
