Основания равнобедренной трапеции равны 2 и 22. Синус острого угла трапеции равен 12/13. Найдите площадь трапеции

Для вычисления площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \]

где \( a \) и \( b \) — основания трапеции, а \( h \) — высота.

Дано:

• \( a = 2 \),
• \( b = 22 \),
• синус острого угла \( \alpha = \frac{12}{13} \).

Сначала найдем высоту \( h \). Для того чтобы выразить высоту через синус угла, нам нужно найти сторону трапеции. Поскольку она равнобедренная, обозначим длину боковой стороны за \( c \).

Используем свойства треугольника: \[ \sin(\alpha) = \frac{h}{c} \implies h = c \cdot \frac{12}{13}. \]

Чтобы найти \( c \), мы можем использовать теорему Пифагора. Если обозначить половину разности оснований как \( m \), то:

\[ m = \frac{b - a}{2} = \frac{22 - 2}{2} = 10. \]

Теперь, используя треугольник, который образуется высотой и половиной основания, применим теорему Пифагора:

\[ c^2 = h^2 + m^2. \]

Подставим выражение для высоты \( h \):

\[ c^2 = \left(c \cdot \frac{12}{13}\right)^2 + 10^2. \]

Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:

\[ c^2 = c^2 \cdot \frac{144}{169} + 100. \]

Переносим все слагаемые на одну сторону:

\[ c^2 - c^2 \cdot \frac{144}{169} = 100. \]

Вынесем \( c^2 \) за скобки:

\[ c^2 \left(1 - \frac{144}{169}\right) = 100. \]

Упростим скобки:

\[ 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}. \]

Следовательно, мы можем записать:

\[ c^2 \cdot \frac{25}{169} = 100, \]

откуда:

\[ c^2 = 100 \cdot \frac{169}{25} = 676 \implies c = \sqrt{676} = 26. \]

Теперь можем найти высоту \( h \):

\[ h = c \cdot \frac{12}{13} = 26 \cdot \frac{12}{13} = 24. \]

Теперь найдем площадь \( S \):

\[ S = \frac{(2 + 22) \cdot 24}{2} = \frac{24 \cdot 24}{2} = \frac{576}{2} = 288. \]

Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 288.