Для вычисления площади равнобедренной трапеции воспользуемся формулой:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2},
]
где ( a ) и ( b ) — основания трапеции, а ( h ) — высота.
Дано:
- ( a = 2 ),
- ( b = 22 ),
- синус острого угла ( \alpha = \frac{12}{13} ).
Сначала найдем высоту ( h ). Для того чтобы выразить высоту через синус угла, нам нужно найти сторону трапеции. Поскольку она равнобедренная, обозначим длину боковой стороны за ( c ).
Используем свойства треугольника:
[
\sin(\alpha) = \frac{h}{c} \implies h = c \cdot \frac{12}{13}.
]
Чтобы найти ( c ), мы можем использовать теорему Пифагора. Если обозначить половину разности оснований как ( m ), то:
[
m = \frac{b - a}{2} = \frac{22 - 2}{2} = 10.
]
Теперь, используя треугольник, который образуется высотой и половиной основания, применим теорему Пифагора:
[
c^2 = h^2 + m^2.
]
Подставим выражение для высоты ( h ):
[
c^2 = \left(c \cdot \frac{12}{13}\right)^2 + 10^2.
]
Теперь раскроем скобки и упростим уравнение:
[
c^2 = c^2 \cdot \frac{144}{169} + 100.
]
Переносим все слагаемые на одну сторону:
[
c^2 - c^2 \cdot \frac{144}{169} = 100.
]
Вынесем ( c^2 ) за скобки:
[
c^2 \left(1 - \frac{144}{169}\right) = 100.
]
Упростим скобки:
[
1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169}.
]
Следовательно, мы можем записать:
[
c^2 \cdot \frac{25}{169} = 100,
]
откуда:
[
c^2 = 100 \cdot \frac{169}{25} = 676 \implies c = \sqrt{676} = 26.
]
Теперь можем найти высоту ( h ):
[
h = c \cdot \frac{12}{13} = 26 \cdot \frac{12}{13} = 24.
]
Теперь найдем площадь ( S ):
[
S = \frac{(2 + 22) \cdot 24}{2} = \frac{24 \cdot 24}{2} = \frac{576}{2} = 288.
]
Таким образом, площадь равнобедренной трапеции равна 288.
