найти общий интеграл дифференциального уравнения xy'=y+√(x^2+y^2)

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение \( xy' = y + \sqrt{x^2 + y^2} \), начнем с его переписывания в более удобной форме. Преобразуем уравнение:

\[ xy' - y = \sqrt{x^2 + y^2} \]

Теперь разделим обе части на \( x \):

\[ y' - \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x} \]

Это может быть более переосмыслено, если мы введем новую переменную. Мы можем попробовать использовать замену \( y = vx \), где \( v \) — это функция от \( x \). Тогда:

\[ y' = v + x \frac{dv}{dx} \]

Подставляем в уравнение:

\[ v + x \frac{dv}{dx} - v = \frac{\sqrt{x^2 + (vx)^2}}{x} \]

Упростим:

\[ x \frac{dv}{dx} = \frac{\sqrt{x^2(1 + v^2)}}{x} \]

это равносильно:

\[ x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2} \]

Теперь разделим переменные:

\[ \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x} \]

Теперь проинтегрируем обе стороны. Интеграл слева:

\[ \int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \ln |v + \sqrt{1 + v^2}| + C_1 \]

Интеграл справа:

\[ \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_2 \]

Таким образом, мы имеем:

\[ \ln |v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln |x| + C \]

где \( C = C_2 - C_1 \). Удалим логарифмы, возведем в степень:

\[ |v + \sqrt{1 + v^2}| = k|x| \]

где \( k = e^C \). Помним, что \( v = \frac{y}{x} \), тогда вместо \( v \) подставим:

\[ \left|\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}\right| = k|x| \]

Запишем в более простом виде:

\[ |y + \sqrt{x^2 + y^2}| = kx^2 \]

Это будет общий интеграл данного дифференциального уравнения, который мы получили.