Чтобы решить данное дифференциальное уравнение ( xy' = y + \sqrt{x^2 + y^2} ), начнем с его переписывания в более удобной форме. Преобразуем уравнение:
[
xy' - y = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Теперь разделим обе части на ( x ):
[
y' - \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{x}
]
Это может быть более переосмыслено, если мы введем новую переменную. Мы можем попробовать использовать замену ( y = vx ), где ( v ) — это функция от ( x ). Тогда:
[
y' = v + x \frac{dv}{dx}
]
Подставляем в уравнение:
[
v + x \frac{dv}{dx} - v = \frac{\sqrt{x^2 + (vx)^2}}{x}
]
Упростим:
[
x \frac{dv}{dx} = \frac{\sqrt{x^2(1 + v^2)}}{x}
]
это равносильно:
[
x \frac{dv}{dx} = \sqrt{1 + v^2}
]
Теперь разделим переменные:
[
\frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \frac{dx}{x}
]
Теперь проинтегрируем обе стороны. Интеграл слева:
[
\int \frac{dv}{\sqrt{1 + v^2}} = \ln |v + \sqrt{1 + v^2}| + C_1
]
Интеграл справа:
[
\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_2
]
Таким образом, мы имеем:
[
\ln |v + \sqrt{1 + v^2}| = \ln |x| + C
]
где ( C = C_2 - C_1 ). Удалим логарифмы, возведем в степень:
[
|v + \sqrt{1 + v^2}| = k|x|
]
где ( k = e^C ). Помним, что ( v = \frac{y}{x} ), тогда вместо ( v ) подставим:
[
\left|\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}}\right| = k|x|
]
Запишем в более простом виде:
[
|y + \sqrt{x^2 + y^2}| = kx^2
]
Это будет общий интеграл данного дифференциального уравнения, который мы получили.
