Найдите количество натуральных трехзначных чисел, сумма цифр которых кратна 7.
Для решения задачи, найдем количество трехзначных чисел, сумма цифр которых кратна 7.
Трехзначное число можно записать в виде \( abc \), где \( a \), \( b \), \( c \) — это цифры числа, а \( a \) — не может быть равной 0. Следовательно, \( a \) может принимать значения от 1 до 9, а \( b \) и \( c \) — от 0 до 9.
Сумма цифр числа \( abc \) равна \( S = a + b + c \). Чтобы найти количество натуральных трехзначных чисел, которые удовлетворяют условию \( S \equiv 0 \mod 7 \), выполним следующие шаги:
Определим диапазон значений для \( S = a + b + c \):
- Минимальное значение \( S \): \( 1 + 0 + 0 = 1 \)
- Максимальное значение \( S \): \( 9 + 9 + 9 = 27 \)
Найдем значения, кратные 7, в этом диапазоне:
- Кратные 7 значения в диапазоне от 1 до 27: \( 7, 14, 21 \).
Подсчитаем количество решений для каждой из сумм:
- Используем метод подсчета неотрицательных решений уравнения \( a + b + c = n \), где \( a \) — от 1 до 9, и \( b, c \) — от 0 до 9.
Преобразуем уравнение для трехзначного числа: \[ a' + b + c = n \] где \( a' = a - 1 \) (т.е. \( a' \) принимает значения от 0 до 8). Теперь \( a' \) имеет диапазон от 0 до 8, и \( b, c \) — от 0 до 9. Общее количество неотрицательных решений уравнения: \[ x_1 + x_2 + x_3 = n \] без ограничений равно \( \binom{n + k - 1}{k - 1} \), где \( k = 3 \).
Однако нам нужно учитывать ограничения. Мы можем учесть ограничения, используя принцип включения-исключения.
Теперь найдем количество решений для каждой суммы:
Для \( S = 7 \):
- \( a + b + c = 7 \)
- Они должны удовлетворять \( a \geq 1 \), т.е. \( a' + b + c = 6 \), и имеем \( a' \) от 0 до 8, \( b, c \) от 0 до 9.
Количество решений: \[ \binom{6 + 3 - 1}{3 - 1} = \binom{8}{2} = 28 \]
Для \( S = 14 \):
- \( a + b + c = 14 \)
- \( a' + b + c = 13 \) (где \( a' \leq 8 \))
Но максимальное значение \( a' \) — 8, значит:
- \( b + c = 5 \), \( b, c \) от 0 до 9. Количество: \[ \binom{5 + 2}{2} = \binom{7}{2} = 21 \, (для\, (2,3)) \]
Для \( S = 21 \):
- \( a + b + c = 21 \)
- \( a' + b + c = 20 \), максимальное значение \( a' = 8 \), \( b + c = 12 \). Количество: \[ \binom{12 + 2}{2} = \binom{14}{2} = 91 \, (случаев) \]
Теперь учтем все три случая: \[ 28 + 21 + 91 = 140 \]
Итак, количество натуральных трехзначных чисел, сумма цифр которых кратна 7, равно = 140.
