Рассмотрим куб ABCDA1B1C1D1 со следующими координатами вершин:
- A (0, 0, 0)
- B (2, 0, 0)
- C (2, 2, 0)
- D (0, 2, 0)
- A1 (0, 0, 2)
- B1 (2, 0, 2)
- C1 (2, 2, 2)
- D1 (0, 2, 2)
Точка M является серединой отрезка B1C1. Чтобы определить ее координаты, найдём координаты B1 и C1:
- B1 (2, 0, 2)
- C1 (2, 2, 2)
Теперь найдем координаты точки M:
[
M = \left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{2 + 2}{2}\right) = (2, 1, 2)
]
Теперь найдем прямую, перпендикулярную плоскости B1CD1. Плоскость B1CD1 задана тремя точками: B1(2, 0, 2), C(2, 2, 0) и D1(0, 2, 2).
Вектор нормали плоскости B1CD1 можно получить, вычислив векторные произведения двух векторов на плоскости:
[
\vec{B1C} = (2, 2, 0) - (2, 0, 2) = (0, 2, -2)
]
[
\vec{B1D1} = (0, 2, 2) - (2, 0, 2) = (-2, 2, 0)
]
Нормаль к плоскости ( \vec{N} ) будет равна векторному произведению ( \vec{B1C} \times \vec{B1D1} ):
[
\vec{N} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
0 & 2 & -2 \
-2 & 2 & 0
\end{vmatrix} = (20 - (-2)2)\hat{i} - (00 - (-2)(-2))\hat{j} + (02 - 2(-2))\hat{k} = (4, -4, 4)
]
Направление прямой, проходящей через точку M и перпендикулярной к плоскости B1CD1, задается вектором (4, -4, 4), то есть уравнение прямой можно записать в параметрической форме:
[
(x, y, z) = (2, 1, 2) + t(4, -4, 4)
]
Теперь:
[
x = 2 + 4t
]
[
y = 1 - 4t
]
[
z = 2 + 4t
]
Для нахождения длины отрезка, который находится внутри куба, определим, когда ( x ), ( y ) и ( z ) находятся в диапазонах [0, 2]:
[ 0 \leq 2 + 4t \leq 2 ]
[ 0 \leq 4t \leq 0 ]
[ t = 0 ]
[ 0 \leq 1 - 4t \leq 2 ]
[ -1 \leq -4t \leq 1 ]
[ -\frac{1}{4} \leq t \leq \frac{1}{4} ]
[ 0 \leq 2 + 4t \leq 2 ]
[ 0 \leq 4t \leq 0 ]
[ t = 0 ]
Наибольший промежуток, который подходит для всех трех условий, определяется следующим образом: ( t ) варьируется от (-\frac{1}{4}) до (0).
Длина отрезка ( L ) будет:
[
L = |t_2 - t_1| = |0 - (-\frac{1}{4})| = \frac{1}{4}
]
Теперь найдем отношение, в котором плоскость B1CD1 делит данный отрезок (от точки M до входа в плоскость B1CD1 и выхода из неё):
[
k_1 = |t_M - t_1| = |0 - (-\frac{1}{4})| = \frac{1}{4}
]
[
k_2 = |t_2 - t_M| = |\frac{1}{4} - 0| = \frac{1}{4}
]
Таким образом, отношение, в котором плоскость B1CD1 делит отрезок:
[
\frac{k_1}{k_2} = \frac{1/4}{1/4} = 1
]
Ответ: длина отрезка внутри куба равна ( \frac{1}{4} ), а плоскость B1CD1 делит данный отрезок в отношении ( 1:1 ).
