Постройте график функции у= - 9/х. Со всеми объяснениями.

Чтобы построить график функции \( y = -\frac{9}{x} \), следуйте этим шагам:

Шаг 1: Определение области определения

Функция \( y = -\frac{9}{x} \) определена при \( x \neq 0 \), так как деление на ноль не определено. Таким образом, область определения функции: \( x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \).

Шаг 2: Обнаружение асимптот

1. Вертикальная асимптота: Она находится в точке \( x = 0 \). При \( x \) стремящемся к нулю, \( y \) стремится к бесконечности (положительной или отрицательной в зависимости от стороны, с которой мы подходим).
2. Горизонтальная асимптота: В данном случае функции никогда не достигает значения \( y = 0 \) (она всегда отрицательная для положительного \( x \) и положительная для отрицательного \( x \)), что указывает на наличие асимптоты \( y = 0 \).

Шаг 3: Значения функции

Теперь найдем несколько значений функции для построения графика:

• Если \( x = 1 \): \[ y = -\frac{9}{1} = -9 \]
• Если \( x = 3 \): \[ y = -\frac{9}{3} = -3 \]
• Если \( x = 9 \): \[ y = -\frac{9}{9} = -1 \]
• Если \( x = -1 \): \[ y = -\frac{9}{-1} = 9 \]
• Если \( x = -3 \): \[ y = -\frac{9}{-3} = 3 \]
• Если \( x = -9 \): \[ y = -\frac{9}{-9} = 1 \]

Итак, мы получили несколько точек для построения графика:

• (1, -9)
• (3, -3)
• (9, -1)
• (-1, 9)
• (-3, 3)
• (-9, 1)

Шаг 4: Построение графика

1. На координатной плоскости отметьте оси \( x \) и \( y \).
2. Нанесите точки, которые мы вычислили: (1, -9), (3, -3), (9, -1), (-1, 9), (-3, 3), (-9, 1).
3. Удалите точки, которые попадают в вертикальную асимптоту (то есть \( x = 0 \)).
4. Проводите гладкую кривую через полученные точки, изобразив характерный вид гиперболы.

Шаг 5: Особенности графика

• График функции \( y = -\frac{9}{x} \) имеет две ветви:
  • Одна в 2-й координатной четверти (для отрицательных \( x \) и положительных \( y \)).
  • Другая в 4-й координатной четверти (для положительных \( x \) и отрицательных \( y \)).
• По мере приближения \( x \) к 0, значение \( y \) стремится к бесконечности, что подтверждает наличие вертикальной асимптоты.

Заключение

Таким образом, вы построили график функции \( y = -\frac{9}{x} \) с помощью анализа области определения, нахождения значений функции и особенности асимптот. Не забудьте проверить свой график, чтобы убедиться, что он правильно отображает поведение функции.