Вычислить объем тела ограниченного поверхностями z=9x²+3y²+2 x+y=1 x=0 z=0 y=0

Чтобы вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями, мы можем использовать метод двойного интеграла. 1. **Определим границы интегрирования.** Заданные поверхности: - \( z = 9x^2 + 3y^2 \) - \( x + y = 1 \) (это линия на плоскости xy) - \( x = 0 \) (оси y) - \( y = 0 \) (оси x) - \( z = 0 \) (плоскость xy) Первое, что нам нужно сделать, это определить область в плоскости xy, где мы будем интегрировать. Условия \( x + y = 1 \), \( x = 0 \), и \( y = 0 \) задают треугольник с вершинами в точках (0, 0), (1, 0) и (0, 1). 2. **Запишем двойной интеграл для объема.** Объем \( V \) может быть найден с помощью интеграла: \[ V = \iint_D z \, dA = \iint_D (9x^2 + 3y^2) \, dA \] где \( D \) — это область, ограниченная линиями, о которых мы говорили. 3. **Определение границ интегрирования.** Для нашего интеграла по области \( D \): - \( x \) будет изменяться от \( 0 \) до \( 1 \) - Для каждого фиксированного \( x \), \( y \) будет изменяться от \( 0 \) до \( 1 - x \) Таким образом, двойной интеграл становится: \[ V = \int_0^1 \int_0^{1-x} (9x^2 + 3y^2) \, dy \, dx \] 4. **Вычисление интеграла.** Сначала вычислим внутренний интеграл: \[ \int_0^{1-x} (9x^2 + 3y^2) \, dy \] Разделим его на два интеграла: \[ = \int_0^{1-x} 9x^2 \, dy + \int_0^{1-x} 3y^2 \, dy \] Первый интеграл: \[ \int_0^{1-x} 9x^2 \, dy = 9x^2 (1-x) = 9x^2 - 9x^3 \] Второй интеграл: \[ \int_0^{1-x} 3y^2 \, dy = 3 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x} = (1-x)^3 \] Итак, суммируем: \[ \int_0^{1-x} (9x^2 + 3y^2) \, dy = (9x^2 - 9x^3) + (1 - 3x + 3x^2) \] Упрощаем: \[ = 9x^2 - 9x^3 + 1 - 3x + 3x^2 = 12x^2 - 9x^3 - 3x + 1 \] Теперь интегрируем этот результат по \( x \): \[ V = \int_0^1 (12x^2 - 9x^3 - 3x + 1) \, dx \] 5. **Вычисление окончательного интеграла:** Вычисляем каждый из этих интегралов отдельно: \[ = \left[ 4x^3 - \frac{9}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + x \right]_0^1 \] Подставляем \( 1 \): \[ = 4(1)^3 - \frac{9}{4}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 \] \[ = 4 - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} + 1 \] Приведем все к общему знаменателю (4): \[ = \frac{16}{4} - \frac{9}{4} - \frac{6}{4} + \frac{4}{4} \] \[ = \frac{16 - 9 - 6 + 4}{4} = \frac{5}{4} \] Таким образом, объем тела \( V = \frac{5}{4} \).