вычислить объем тела ограниченного поверхностями z=9x²+3y²+2 x+y=1 x=0 z=0 y=0
Чтобы вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями, мы можем использовать метод двойного интеграла.
- Определим границы интегрирования.
Заданные поверхности:
- \( z = 9x^2 + 3y^2 \)
- \( x + y = 1 \) (это линия на плоскости xy)
- \( x = 0 \) (оси y)
- \( y = 0 \) (оси x)
- \( z = 0 \) (плоскость xy)
Первое, что нам нужно сделать, это определить область в плоскости xy, где мы будем интегрировать. Условия \( x + y = 1 \), \( x = 0 \), и \( y = 0 \) задают треугольник с вершинами в точках (0, 0), (1, 0) и (0, 1).
- Запишем двойной интеграл для объема.
Объем \( V \) может быть найден с помощью интеграла:
\[ V = \iint_D z \, dA = \iint_D (9x^2 + 3y^2) \, dA \]
где \( D \) — это область, ограниченная линиями, о которых мы говорили.
- Определение границ интегрирования.
Для нашего интеграла по области \( D \):
- \( x \) будет изменяться от \( 0 \) до \( 1 \)
- Для каждого фиксированного \( x \), \( y \) будет изменяться от \( 0 \) до \( 1 - x \)
Таким образом, двойной интеграл становится:
\[ V = \int_0^1 \int_0^{1-x} (9x^2 + 3y^2) \, dy \, dx \]
- Вычисление интеграла.
Сначала вычислим внутренний интеграл:
\[ \int_0^{1-x} (9x^2 + 3y^2) \, dy \] Разделим его на два интеграла:
\[ = \int_0^{1-x} 9x^2 \, dy + \int_0^{1-x} 3y^2 \, dy \]
Первый интеграл:
\[ \int_0^{1-x} 9x^2 \, dy = 9x^2 (1-x) = 9x^2 - 9x^3 \]
Второй интеграл:
\[ \int_0^{1-x} 3y^2 \, dy = 3 \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^{1-x} = (1-x)^3 \]
Итак, суммируем:
\[ \int_0^{1-x} (9x^2 + 3y^2) \, dy = (9x^2 - 9x^3) + (1 - 3x + 3x^2) \]
Упрощаем:
\[ = 9x^2 - 9x^3 + 1 - 3x + 3x^2 = 12x^2 - 9x^3 - 3x + 1 \]
Теперь интегрируем этот результат по \( x \):
\[ V = \int_0^1 (12x^2 - 9x^3 - 3x + 1) \, dx \]
- Вычисление окончательного интеграла:
Вычисляем каждый из этих интегралов отдельно:
\[ = \left[ 4x^3 - \frac{9}{4} x^4 - \frac{3}{2} x^2 + x \right]_0^1 \]
Подставляем \( 1 \):
\[ = 4(1)^3 - \frac{9}{4}(1)^4 - \frac{3}{2}(1)^2 + 1 \]
\[ = 4 - \frac{9}{4} - \frac{3}{2} + 1 \]
Приведем все к общему знаменателю (4):
\[ = \frac{16}{4} - \frac{9}{4} - \frac{6}{4} + \frac{4}{4} \]
\[ = \frac{16 - 9 - 6 + 4}{4} = \frac{5}{4} \]
Таким образом, объем тела \( V = \frac{5}{4} \).
