Обозначим длины сторон прямоугольника как ( x ) см и ( y ) см. По условию задачи, одна сторона больше другой на 14 см, т.е.
[
y = x + 14
]
Площадь прямоугольника равна 95 см², значит:
[
x \cdot y = 95
]
Подставим выражение для ( y ) в уравнение площади:
[
x \cdot (x + 14) = 95
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + 14x = 95
]
Переносим 95 в левую часть уравнения:
[
x^2 + 14x - 95 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант ( D ) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
где ( a = 1 ), ( b = 14 ) и ( c = -95 ).
Подставим значения:
[
D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-95) = 196 + 380 = 576
]
Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
Подставим найденный дискриминант:
[
x = \frac{-14 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1}
]
Так как ( \sqrt{576} = 24 ), получим:
[
x = \frac{-14 \pm 24}{2}
]
Рассмотрим два случая:
- ( x = \frac{-14 + 24}{2} = \frac{10}{2} = 5 )
- ( x = \frac{-14 - 24}{2} = \frac{-38}{2} = -19 ) (неподходящее решение, так как длина стороны не может быть отрицательной)
Таким образом, ( x = 5 ) см.
Теперь найдем ( y ):
[
y = x + 14 = 5 + 14 = 19 \text{ см}
]
Итак, длины сторон прямоугольника:
[
x = 5 \text{ см}, \quad y = 19 \text{ см}
]
