Примеры решения неопределённых интегралов

Конечно! Приведу несколько примеров решения неопределённых интегралов:

Пример 1

Интеграл:
\[ \int x^2 \, dx \]

Решение:
Для интегрирования полинома используем обратную степень: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1) \] Здесь \( n = 2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \]

Пример 2

Интеграл:
\[ \int e^x \, dx \]

Решение:
Интеграл от экспоненты равен самой экспоненте: \[ \int e^x \, dx = e^x + C \]

Пример 3

Интеграл:
\[ \int \sin(x) \, dx \]

Решение:
Интеграл от синуса: \[ \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C \]

Пример 4

Интеграл:
\[ \int \frac{1}{x} \, dx \]

Решение:
Интеграл от \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \]

Пример 5

Интеграл:
\[ \int \cos(x) \, dx \]

Решение:
Интеграл от косинуса: \[ \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C \]

Пример 6

Интеграл:
\[ \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx \]

Решение:
Интегрируем каждый член: \[ \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx + \int 1 \, dx \] \[ = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^3 + x^2 + x + C \]

Эти примеры показывают основные правила интегрирования. Если у вас есть конкретные интегралы, которые вы хотели бы решить, пожалуйста, сообщите!