Для решения задачи сначала зададим необходимые параметры:
- Пусть радиус круга равен ( r ). Значит, площадь круга будет равна ( S_{circle} = \pi r^2 ).
- Так как круг вписан в квадрат, сторона квадрата будет равна ( 2r ), а площадь квадрата ( S_{square} = (2r)^2 = 4r^2 ).
Теперь вычислим вероятность того, что один человек приземлится именно в круг:
[
P_{circle} = \frac{S_{circle}}{S_{square}} = \frac{\pi r^2}{4r^2} = \frac{\pi}{4}
]
Вероятность того, что человек не приземлится в круг:
[
P_{not_circle} = 1 - P_{circle} = 1 - \frac{\pi}{4}
]
Теперь, по условию задачи, мы хотим найти вероятность того, что ровно один из трех человек приземлится в круг. Для этого используем биномиальное распределение, где ( n = 3 ) (количество прыгающих), ( k = 1 ) (количество приземлившихся в круг), и ( p = \frac{\pi}{4} ) (вероятность приземления в круг):
[
P(X = 1) = C(3, 1) \cdot P_{circle}^1 \cdot P_{not_circle}^{3-1}
]
где ( C(3, 1) = 3 ) - количество способов выбрать одного человека из трех:
[
P(X = 1) = 3 \cdot \left(\frac{\pi}{4}\right)^1 \cdot \left(1 - \frac{\pi}{4}\right)^2
]
Теперь подставим известные значения и произведем вычисления. Сначала давайте определим ( 1 - \frac{\pi}{4} ):
[
1 - \frac{\pi}{4} \approx 1 - 0.7854 \approx 0.2146
]
Теперь подставляем и считаем:
[
P(X = 1) \approx 3 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot (0.2146)^2
]
Вычислим значения:
[
(0.2146)^2 \approx 0.0461
]
[
P(X = 1) \approx 3 \cdot 0.7854 \cdot 0.0461 \approx 3 \cdot 0.0362 \approx 0.1086
]
Таким образом, округляя до сотых, получаем:
[
\boxed{0.11}
]
Это и есть вероятность того, что ровно один человек приземлится в круг посадочной площадки.
