На сторонах АВ и АС треугольника ABC отмечены точки М и N соответственно. Известно, что AM : MB = 3 : 4 и AN : NC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника АВС равна 70. B

Для того чтобы найти площадь треугольника \( AMN \), будем использовать теорему о пропорциональных отрезках, проведя анализ данными о относительных длинах отрезков. 1. Пусть \( S_{ABC} \) — площадь треугольника \( ABC \). В нашем случае \( S_{ABC} = 70 \). 2. Отношение отрезков \( AM \) и \( MB \) равно \( \frac{AM}{MB} = \frac{3}{4} \). Это означает, что \( AM + MB = AB \), и можем записать следующее: \[ AM = \frac{3}{3+4} AB = \frac{3}{7} AB. \] В то же время, \( MB = \frac{4}{7} AB \). 3. Аналогично, для точек \( AN \) и \( NC \) имеем: \[ AN = \frac{3}{3+2} AC = \frac{3}{5} AC, \] а значит, \[ NC = \frac{2}{5} AC. \] 4. Найдем площадь треугольника \( AMN \) в зависимости от площади треугольника \( ABC \). Для этого воспользуемся тем, что площадь треугольника пропорциональна произведению основания на высоту. Площадь треугольника \( AMN \) будет равна доле площадей \( ABC \), отнесенной к основанию \( AB \) и высоте из точки \( A \) на линию \( BC \). 5. Площадь треугольника \( AMN \) можно выразить как: \[ S_{AMN} = S_{ABC} \cdot \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC}. \] 6. Подставляем найденные отношения: - \( \frac{AM}{AB} = \frac{3}{7} \) - \( \frac{AN}{AC} = \frac{3}{5} \) 7. Таким образом получаем: \[ S_{AMN} = S_{ABC} \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{3}{5} = 70 \cdot \frac{9}{35} = 70 \cdot \frac{9}{35} = 18. \] Следовательно, площадь треугольника \( AMN \) равна \( 18 \).