Задумали двузначное число. При перестановке цифр этого числа сумма квадратов полученного числа и задуманного числа оказалась равна 585. Найдите задуманное число если известно…

Обозначим задуманное двузначное число как \( 10a + b \), где \( a \) — первая цифра, а \( b \) — вторая цифра. По условию задачи, вторая цифра на 1 меньше первой, то есть \( b = a - 1 \).

Таким образом, можем выразить задуманное число следующим образом:

\[ 10a + b = 10a + (a - 1) = 11a - 1 \]

При перестановке цифр получаем новое число \( 10b + a = 10(a - 1) + a = 10a - 10 + a = 11a - 10 \).

Согласно условию, сумма квадратов задуманного числа и полученного числа равна 585:

\[ (11a - 1)^2 + (11a - 10)^2 = 585 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ (11a - 1)^2 = 121a^2 - 22a + 1 \] \[ (11a - 10)^2 = 121a^2 - 220a + 100 \]

Сложим эти два выражения:

\[ 121a^2 - 22a + 1 + 121a^2 - 220a + 100 = 585 \] \[ 242a^2 - 242a + 101 = 585 \]

Теперь упростим уравнение:

\[ 242a^2 - 242a + 101 - 585 = 0 \] \[ 242a^2 - 242a - 484 = 0 \]

Разделим все члены на 242:

\[ a^2 - a - 2 = 0 \]

Теперь можем решить это квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \] \[ a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Таким образом, у нас два возможных значения для \( a \):

\[ a_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad (a_1 = 2) \] \[ a_2 = \frac{-2}{2} = -1 \quad (a_2 = -1, \text{ не подходит, так как } a \text{ не может быть отрицательным}) \]

Теперь подставляем \( a = 2 \):

\[ b = a - 1 = 2 - 1 = 1 \]

Следовательно, задуманное число:

\[ 10a + b = 10 \cdot 2 + 1 = 21 \]

Проверим:

Перестановка цифр: 12.

Сумма квадратов:

\[ 21^2 + 12^2 = 441 + 144 = 585. \]

Задуманное число — 21.