Обозначим задуманное двузначное число как ( 10a + b ), где ( a ) — первая цифра, а ( b ) — вторая цифра. По условию задачи, вторая цифра на 1 меньше первой, то есть ( b = a - 1 ).
Таким образом, можем выразить задуманное число следующим образом:
[
10a + b = 10a + (a - 1) = 11a - 1
]
При перестановке цифр получаем новое число ( 10b + a = 10(a - 1) + a = 10a - 10 + a = 11a - 10 ).
Согласно условию, сумма квадратов задуманного числа и полученного числа равна 585:
[
(11a - 1)^2 + (11a - 10)^2 = 585
]
Теперь раскроем скобки:
[
(11a - 1)^2 = 121a^2 - 22a + 1
]
[
(11a - 10)^2 = 121a^2 - 220a + 100
]
Сложим эти два выражения:
[
121a^2 - 22a + 1 + 121a^2 - 220a + 100 = 585
]
[
242a^2 - 242a + 101 = 585
]
Теперь упростим уравнение:
[
242a^2 - 242a + 101 - 585 = 0
]
[
242a^2 - 242a - 484 = 0
]
Разделим все члены на 242:
[
a^2 - a - 2 = 0
]
Теперь можем решить это квадратное уравнение через дискриминант:
[
D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
]
[
a = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}
]
Таким образом, у нас два возможных значения для ( a ):
[
a_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad (a_1 = 2)
]
[
a_2 = \frac{-2}{2} = -1 \quad (a_2 = -1, \text{ не подходит, так как } a \text{ не может быть отрицательным})
]
Теперь подставляем ( a = 2 ):
[
b = a - 1 = 2 - 1 = 1
]
Следовательно, задуманное число:
[
10a + b = 10 \cdot 2 + 1 = 21
]
Проверим:
Перестановка цифр: 12.
Сумма квадратов:
[
21^2 + 12^2 = 441 + 144 = 585.
]
Задуманное число — 21.
