Давайте решим каждое из уравнений по порядку.
1. Уравнение: ( 19x + 4 - 5x^2 = 0 )
Для упрощения перепишем уравнение в стандартной форме:
[
-5x^2 + 19x + 4 = 0
]
Умножим на -1, чтобы сделать коэффициент перед (x^2) положительным:
[
5x^2 - 19x - 4 = 0
]
Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):
[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}
]
где (a = 5), (b = -19), (c = -4).
Подсчитаем дискриминант:
[
D = (-19)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 361 + 80 = 441
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{{19 \pm \sqrt{441}}}{{10}} = \frac{{19 \pm 21}}{{10}}
]
[
x_1 = \frac{{40}}{{10}} = 4, \quad x_2 = \frac{{-2}}{{10}} = -0.2
]
Таким образом, корни уравнения: ( x_1 = 4, , x_2 = -0.2 ).
2. Уравнение: ( 10x + 9 = 7x )
Переносим все члены с (x) в одну сторону:
[
10x - 7x = -9
]
[
3x = -9
]
Теперь делим обе стороны на 3:
[
x = -3
]
Такое уравнение имеет один корень: ( x = -3 ).
3. Уравнение: ( 3x - 5 + 7x^2 - 3x^2 + 7 + 11x = 0 )
Сначала упрощаем:
[
7x^2 - 3x^2 + 3x + 11x + 7 - 5 = 0
]
[
4x^2 + 14x + 2 = 0
]
Применим формулу для нахождения корней:
где (a = 4), (b = 14), (c = 2).
Подсчитаем дискриминант:
[
D = 14^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 196 - 32 = 164
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{{-14 \pm \sqrt{164}}}{{8}} = \frac{{-14 \pm 2\sqrt{41}}}{{8}} = \frac{{-7 \pm \sqrt{41}}}{{4}}
]
Таким образом, корни уравнения:
[
x_1 = \frac{{-7 + \sqrt{41}}}{4}, \quad x_2 = \frac{{-7 - \sqrt{41}}}{4}
]
4. Уравнение: ( \frac{x}{2} - \frac{x}{5} = 3 )
Чтобы решить это уравнение, сначала найдем общий знаменатель, который равен 10:
[
\frac{5x}{10} - \frac{2x}{10} = 3
]
[
\frac{3x}{10} = 3
]
Умножим обе стороны на 10:
[
3x = 30
]
Теперь делим на 3:
[
x = 10
]
Корень уравнения: ( x = 10 ).
5. Уравнение: ( 14 - 4x^2 - x = 0 )
Приведем его к стандартному виду:
[
-4x^2 - x + 14 = 0
]
Умножим на -1:
[
4x^2 + x - 14 = 0
]
Теперь применим формулу для нахождения корней:
где (a = 4), (b = 1), (c = -14).
Подсчитаем дискриминант:
[
D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-14) = 1 + 224 = 225
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{{-1 \pm \sqrt{225}}}{{8}} = \frac{{-1 \pm 15}}{{8}}
]
[
x_1 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}, \quad x_2 = \frac{-16}{8} = -2
]
Таким образом, корни уравнения: ( x_1 = \frac{7}{4}, , x_2 = -2 ).
Теперь у вас есть решения для всех уравнений!
