Чтобы решить уравнение, необходимо сначала привести его все к одному общему виду и затем решить относительно ( y ).
У нас есть дроби:
[
\frac{2y-2}{y+3} = \frac{y+3}{y-3} = 5
]
Начнем с того, что перекрестно перемножим первую часть:
[
(2y - 2)(y - 3) = (y + 3)^2
]
Распишем и упростим выражения:
((2y - 2)(y - 3) = 2y^2 - 6y - 2y + 6)
(= 2y^2 - 8y + 6)
((y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9)
Теперь составим уравнение:
[
2y^2 - 8y + 6 = y^2 + 6y + 9
]
Перенесем все в одну сторону для получения квадратного уравнения:
[
2y^2 - 8y + 6 - y^2 - 6y - 9 = 0
]
Что упрощается до:
[
y^2 - 14y - 3 = 0
]
Теперь найдем дискриминант ((D)):
[
D = b^2 - 4ac
]
Где ( a = 1, b = -14, c = -3 ).
[
D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 196 + 12 = 208
]
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня:
[
y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
y_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{208}}{2}
]
Теперь радикал можно упростить:
[
\sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13}
]
Тогда:
[
y_1 = \frac{14 + 4\sqrt{13}}{2} = 7 + 2\sqrt{13}
]
[
y_2 = \frac{14 - 4\sqrt{13}}{2} = 7 - 2\sqrt{13}
]
Ответ: ( y_1 = 7 + 2\sqrt{13}, y_2 = 7 - 2\sqrt{13} ).
