Решить по дискриминанту
Чтобы решить уравнение, необходимо сначала привести его все к одному общему виду и затем решить относительно \( y \).
У нас есть дроби:
\[ \frac{2y-2}{y+3} = \frac{y+3}{y-3} = 5 \]
Начнем с того, что перекрестно перемножим первую часть:
\[ (2y - 2)(y - 3) = (y + 3)^2 \]
Распишем и упростим выражения:
\((2y - 2)(y - 3) = 2y^2 - 6y - 2y + 6\)
\(= 2y^2 - 8y + 6\)
\((y + 3)^2 = y^2 + 6y + 9\)
Теперь составим уравнение:
\[ 2y^2 - 8y + 6 = y^2 + 6y + 9 \]
Перенесем все в одну сторону для получения квадратного уравнения:
\[ 2y^2 - 8y + 6 - y^2 - 6y - 9 = 0 \]
Что упрощается до:
\[ y^2 - 14y - 3 = 0 \]
Теперь найдем дискриминант (\(D\)):
\[ D = b^2 - 4ac \]
Где \( a = 1, b = -14, c = -3 \).
\[ D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 196 + 12 = 208 \]
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
\[ y_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{208}}{2} \]
Теперь радикал можно упростить:
\[ \sqrt{208} = \sqrt{16 \cdot 13} = 4\sqrt{13} \]
Тогда:
\[ y_1 = \frac{14 + 4\sqrt{13}}{2} = 7 + 2\sqrt{13} \]
\[ y_2 = \frac{14 - 4\sqrt{13}}{2} = 7 - 2\sqrt{13} \]
Ответ: \( y_1 = 7 + 2\sqrt{13}, y_2 = 7 - 2\sqrt{13} \).
