Решите уравнение 4sin2x-sin2x=2cos2x

Давайте решим уравнение \(4\sin(2x) - \sin(2x) = 2\cos(2x)\). Сначала упростим его: \[ 4\sin(2x) - \sin(2x) = 3\sin(2x) \] Таким образом, уравнение можно переписать как: \[ 3\sin(2x) = 2\cos(2x) \] Теперь разделим обе стороны на \(\cos(2x)\) (при условии, что \(\cos(2x) \neq 0\)): \[ 3\tan(2x) = 2 \] Теперь разделим обе стороны на 3: \[ \tan(2x) = \frac{2}{3} \] Теперь найдем общий угол, для которого тангенс равен \(\frac{2}{3}\): \[ 2x = \arctan\left(\frac{2}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \] Теперь выдадим \(x\): \[ x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Таким образом, общее решение уравнения: \[ x = \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{2}{3}\right) + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]