Чтобы решить уравнение (2\cos^2 x + \cos x = 1), сначала перенесем все члены в одну сторону:
[
2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0.
]
Теперь это квадратное уравнение по отношению к (\cos x). Обозначим (y = \cos x). У нас получится:
[
2y^2 + y - 1 = 0.
]
Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу:
[
y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}},
]
где (a = 2), (b = 1), (c = -1). Подставим эти значения:
[
y = \frac{{-1 \pm \sqrt{{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{-1 \pm \sqrt{{1 + 8}}}}{{4}} = \frac{{-1 \pm \sqrt{9}}}{4} = \frac{{-1 \pm 3}}{4}.
]
Это приводит к двум решениям:
- (y_1 = \frac{{2}}{4} = \frac{1}{2}),
- (y_2 = \frac{{-4}}{4} = -1).
Теперь вернемся к (\cos x):
- (\cos x = \frac{1}{2}) предполагает, что (x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi) или (x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi), где (k) — целое число.
- (\cos x = -1) предполагает, что (x = \pi + 2k\pi), где (k) — целое число.
Таким образом, общее решение уравнения:
[
x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
]
