Для нахождения периметра ромба, вписанного в окружность, можно воспользоваться формулой, связывающей радиус окружности (r) и площадь (S) ромба:
[ S = r \cdot P ]
где ( P ) — периметр ромба, ( S ) — площадь ромба, ( r ) — радиус окружности.
Радиус вписанной окружности ромба может быть выражен через его сторону ( a ) и углы. Площадь ромба можно найти, используя формулу через сторону и угол:
[
S = a^2 \cdot \sin(\alpha)
]
где ( \alpha ) — острый угол ромба.
Радиус вписанной окружности связан со стороной следующим образом:
[
r = \frac{S}{P}
]
Мы можем выразить периметр через сторону ромба:
[ P = 4a ]
Таким образом, можем записать:
[
S = r \cdot P = r \cdot 4a
]
Сравнивая два уравнения для площади, получаем:
[
a^2 \cdot \sin(\alpha) = r \cdot 4a
]
Теперь подставим известные значения:
- ( r = 4.5 ) см,
- ( \alpha = 30^\circ ).
Зная, что ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ), получаем:
[
a^2 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \cdot 4a
]
Упростим уравнение:
[
\frac{a^2}{2} = 18a
]
Умножим обе стороны на 2:
[
a^2 = 36a
]
Переносим все в одно уравнение:
[
a^2 - 36a = 0
]
Факторизуем:
[
a(a - 36) = 0
]
Таким образом, ( a = 36 ) см (так как стороной ромба не может быть 0).
Теперь находим периметр ромба:
[
P = 4a = 4 \cdot 36 = 144 \text{ см}.
]
Ответ: периметр ромба равен 144 см.
