141. a) Раднус окружности, вписанной в ромб, равен 4,5 см, острый угол ромба равен 30°. Найдите периметр ромба.

Для нахождения периметра ромба, вписанного в окружность, можно воспользоваться формулой, связывающей радиус окружности (r) и площадь (S) ромба:

\[ S = r \cdot P \]

где \( P \) — периметр ромба, \( S \) — площадь ромба, \( r \) — радиус окружности.

Радиус вписанной окружности ромба может быть выражен через его сторону \( a \) и углы. Площадь ромба можно найти, используя формулу через сторону и угол:

\[ S = a^2 \cdot \sin(\alpha) \]

где \( \alpha \) — острый угол ромба.

Радиус вписанной окружности связан со стороной следующим образом:

\[ r = \frac{S}{P} \]

Мы можем выразить периметр через сторону ромба:

\[ P = 4a \]

Таким образом, можем записать:

\[ S = r \cdot P = r \cdot 4a \]

Сравнивая два уравнения для площади, получаем:

\[ a^2 \cdot \sin(\alpha) = r \cdot 4a \]

Теперь подставим известные значения:

• \( r = 4.5 \) см,
• \( \alpha = 30^\circ \).

Зная, что \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \), получаем:

\[ a^2 \cdot \frac{1}{2} = 4.5 \cdot 4a \]

Упростим уравнение:

\[ \frac{a^2}{2} = 18a \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ a^2 = 36a \]

Переносим все в одно уравнение:

\[ a^2 - 36a = 0 \]

Факторизуем:

\[ a(a - 36) = 0 \]

Таким образом, \( a = 36 \) см (так как стороной ромба не может быть 0).

Теперь находим периметр ромба:

\[ P = 4a = 4 \cdot 36 = 144 \text{ см}. \]

Ответ: периметр ромба равен 144 см.