Указать какие из последовательностей являются возрастающими или убывающими x_n=3n+5/2n+1

Чтобы определить, является ли последовательность \( x_n = \frac{3n + 5}{2n + 1} \) возрастающей или убывающей, нужно рассмотреть разность последовательных членов: \[ x_{n+1} = \frac{3(n+1) + 5}{2(n+1) + 1} = \frac{3n + 3 + 5}{2n + 2 + 1} = \frac{3n + 8}{2n + 3} \] Теперь рассчитаем разность: \[ x_{n+1} - x_n = \frac{3n + 8}{2n + 3} - \frac{3n + 5}{2n + 1} \] Для упрощения этой разности найдем общий знаменатель: \[ x_{n+1} - x_n = \frac{(3n + 8)(2n + 1) - (3n + 5)(2n + 3)}{(2n + 3)(2n + 1)} \] Теперь упростим числитель: \((3n + 8)(2n + 1) = 6n^2 + 3n + 16n + 8 = 6n^2 + 19n + 8\) \((3n + 5)(2n + 3) = 6n^2 + 9n + 10n + 15 = 6n^2 + 19n + 15\) Теперь вычтем второй результат из первого: \[ (6n^2 + 19n + 8) - (6n^2 + 19n + 15) = 8 - 15 = -7 \] Получаем: \[ x_{n+1} - x_n = \frac{-7}{(2n + 3)(2n + 1)} \] Так как \( (2n + 3)(2n + 1) > 0 \) для всех \( n \geq 0 \), то разность \( x_{n+1} - x_n < 0 \). Это означает, что последовательность \( x_n \) является убывающей. Таким образом, последовательность \( x_n = \frac{3n + 5}{2n + 1} \) убывает для \( n \geq 0 \).