Для доказательства того, что выражение ( f(x) = x^2 - 4x + 9 ) при любых значениях ( x ) принимает положительные значения, мы можем воспользоваться несколькими методами. Один из простых способов — это рассмотреть дискриминант.
- Определим дискриминант:
Выражение ( f(x) ) — это квадратный трёхчлен, который можно записать в стандартной форме ( f(x) = ax^2 + bx + c ), где:
- ( a = 1 )
- ( b = -4 )
- ( c = 9 )
Дискриминант ( D ) равен:
[
D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20
]
- Анализируем дискриминант:
Дискриминант ( D < 0 ) означает, что у уравнения ( f(x) = 0 ) нет действительных корней. Это значит, что парабола, описываемая данным квадратным трёхчленом, не пересекает ось абсцисс и, следовательно, не принимает значения, равные нулю.
- Парабола открывается вверх:
Так как коэффициент при ( x^2 ) положителен (( a = 1 > 0 )), парабола открывается вверх. Это указывает на то, что на всем промежутке ( x \in \mathbb{R} ) функция ( f(x) ) будет принимать только положительные значения.
- Проверка значений:
Помимо этого, можно проверить значение функции в вершине параболы. Вершина параболы для функции ( f(x) ) находится по формуле ( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 ).
Теперь подставим ( x = 2 ):
[
f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 9 = 4 - 8 + 9 = 5
]
Это значение ( f(2) = 5 ) положительно.
Таким образом, мы доказали, что выражение ( x^2 - 4x + 9 ) при любых значениях ( x ) принимает только положительные значения.
