Докажите что выражение x2 - 4x + 9 при любых значениях x принимает положительные значения
Для доказательства того, что выражение \( f(x) = x^2 - 4x + 9 \) при любых значениях \( x \) принимает положительные значения, мы можем воспользоваться несколькими методами. Один из простых способов — это рассмотреть дискриминант.
- Определим дискриминант:
Выражение \( f(x) \) — это квадратный трёхчлен, который можно записать в стандартной форме \( f(x) = ax^2 + bx + c \), где:
- \( a = 1 \)
- \( b = -4 \)
- \( c = 9 \)
Дискриминант \( D \) равен: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 \]
- Анализируем дискриминант:
Дискриминант \( D < 0 \) означает, что у уравнения \( f(x) = 0 \) нет действительных корней. Это значит, что парабола, описываемая данным квадратным трёхчленом, не пересекает ось абсцисс и, следовательно, не принимает значения, равные нулю.
- Парабола открывается вверх:
Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( a = 1 > 0 \)), парабола открывается вверх. Это указывает на то, что на всем промежутке \( x \in \mathbb{R} \) функция \( f(x) \) будет принимать только положительные значения.
- Проверка значений:
Помимо этого, можно проверить значение функции в вершине параболы. Вершина параболы для функции \( f(x) \) находится по формуле \( x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \).
Теперь подставим \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 9 = 4 - 8 + 9 = 5 \]
Это значение \( f(2) = 5 \) положительно.
Таким образом, мы доказали, что выражение \( x^2 - 4x + 9 \) при любых значениях \( x \) принимает только положительные значения.
